Tag Archives: 對合矩陣

可對角化的特殊矩陣

本文的閱讀等級:中級 令 為一個 階複矩陣,。若存在一個同階可逆矩陣 使得 為對角矩陣,其主對角元為 的特徵值,則 稱為可對角化 (diagonalizable), 稱為譜分解 (spectral decomposition,見“可對角化矩陣的譜分解”)。令 為 的相異特徵值組成的集合。下面列舉三個可對角化矩陣 的等價條件: 每一特徵值 的代數重數等於幾何重數 (見“可對角化矩陣與缺陷矩陣的判定”),即 (見“特徵值的代數重數與幾何重數”),這裡 表示矩陣 的零空間 (nullspace); 每一特徵值 的指標 (index) 等於 ,也就是說 的 Jordan 矩陣的每一個 Jordan 分塊的階數為 ,即純量 (見“Jordan 形式大解讀 (上)”); 最小多項式為 ,也就是說 (見“最小多項式 (下)”)。 … Continue reading

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每週問題 January 26, 2015

證明 階對合矩陣 (involutory matrix) 與冪等矩陣 (idempotent matrix) 具有一對一的關係。 A matrix satisfying is said to be an involutory matrix, and a matrix satisfying is said to be an idempotent matrix. Show that there is a one-to-one correspondence between the set of … Continue reading

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每週問題 October 20, 2014

證明對合矩陣 (involutory matrix) 的一個跡數不等式。 Let be an involutory matrix, , and . Show that .

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矩陣相似於其逆的充要條件

本文的閱讀等級:高級 任一 階矩陣 相似於 (見“矩陣與其轉置的相似性”)。若 是一個實正交矩陣 (orthogonal matrix),,則 相似於 。我們不免好奇: 相似於 的充分以及必要條件是甚麼?考慮極端的情況:兩個相等的方陣必定相似。若 ,即 ,我們稱之為對合 (involutory) 矩陣 (見“特殊矩陣 (22):對合矩陣”)。除了對合矩陣,是否還有其他的 相似於 ?二人同心,其利斷金。若 ,其中 和 是對合矩陣,則 , 即知 相似於 。兩個對合矩陣的乘積不僅是矩陣相似於其逆的充分條件,也是必要條件。反向論證較為複雜,本文運用兩種特殊型態矩陣──Jordan 分塊和相伴 (companion) 矩陣──證明:若 相似於 ,則存在對合矩陣 和 使得 。

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特殊矩陣 (22):對合矩陣

本文的閱讀等級:中級 對合函數 (involution) 是逆函數等於自身的函數,也就是說,對合函數 的定義域中所有 滿足 。令 為一個定義於 或 的 階矩陣。若 ,即 ,則 稱為對合 (involutory) 矩陣。換句話說,對合矩陣是單位矩陣的所有平方根。常見的對合矩陣包括: 單位矩陣 和 反對角 (anti-diagonal) 排列矩陣 列交換矩陣,例如, 簽名 (signature ) 矩陣 Householder 矩陣 ,其中 (見“特殊矩陣 (4):Householder 矩陣”)。直接計算可驗證 下面我們介紹對合矩陣的構造法以及性質。

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Householder 變換於 QR 分解的應用

本文的閱讀等級:中級 目前已知三種主要的 QR 分解計算方法包括 Gram-Schmidt 正交化 (見“Gram-Schmidt 正交化與 QR 分解”)、Givens 旋轉 (見“Givens 旋轉於 QR 分解的應用”),和 Householder 變換。本文介紹最後一種方法:利用特殊設計的 Householder 變換於矩陣的正交化簡 (orthogonal reduction),從而得到 QR 分解。

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每週問題 May 23, 2011

這是關於對合 (involutory) 矩陣的證明問題。 Pow-May-23-11 參考解答 PowSol-May-23-11

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每週問題 April 11, 2011

這是有關對合 (involutory) 矩陣的題組。 Pow-April-11-11 參考解答 PowSol-April-11-11

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基本矩陣的幾何意義

本文的閱讀等級:中級 假設 與 為幾何向量空間 的兩個向量。請注意,以下向量皆為行向量 (column vector)。若 ,我們稱 為基本矩陣或初等矩陣 (elementary matrix),其中 是單位矩陣, 是秩─1 (rank-one) 矩陣。基本矩陣的名稱源於係每一個基本列運算 (elementary row operation) 都有一個對應的基本矩陣 (見“特殊矩陣(10):基本矩陣”)。基本矩陣是可逆的,其逆矩陣也是基本矩陣,如下: 。 本文推導基本矩陣的行列式公式、特徵值與特徵向量,並解釋基本矩陣的幾何意義。

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特殊矩陣 (4):Householder 矩陣

本文的閱讀等級:中級 在幾何向量空間 ,鏡射 (reflection) 超平面 (hyperplane) 由單位法向量 決定 (超平面是維數等於 的子空間)。對於任一點 (或向量) ,從空間幾何可推論點 的鏡射為 ,其中 是點 在法向量 的投影量 (見下圖)。將純量 和向量 交換位置,並移除括弧,鏡射點可表示為 。 單位法向量 所定義的超平面的鏡射變換矩陣稱為 Householder 矩陣,如下: , 其中 。(對於 的一般子空間的鏡射矩陣請見“旋轉與鏡射”。)

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