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每週問題 May 15, 2017

反對稱矩陣的伴隨矩陣 (adjugate) 是對稱或反對稱矩陣。 Let be an skew-symmetric matrix. Prove that is a symmetric matrix for odd and a skew-symmetric matrix for even . Advertisements

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二對稱矩陣分解

本文的閱讀等級:中級 因為近代線性代數教科書隻字不提,多數人可能從未聽聞過這個定理:任一實方陣 可分解為兩個實對稱矩陣的乘積 ,其中 是可逆矩陣;類似地,任一複方陣 可分解為兩個複對稱矩陣的乘積 ,其中 是可逆矩陣[1]。對稱矩陣 滿足 ,Hermitian 矩陣 滿足 。對於實矩陣,對稱矩陣等同於 Hermitian 矩陣;對於複矩陣,對稱矩陣不同於 Hermitian 矩陣。方陣的二對稱矩陣分解看似玄妙,但課本都不講述的定理能有甚麼用途呢?莊子曰:「人皆知有用之用,而莫知無用之用也。」按莊子的看法,「有用之用」與「無用之用」的區別在於個人的主觀認知。本文介紹二對稱矩陣分解的動機純粹是為了演練矩陣分析技巧,下面分別就複矩陣和實矩陣說明採行 Jordan 典型形式的建構式證法。至於這個矩陣分解式到底有用抑或無用,暫且不必急著下定論。

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