Tag Archives: 對角佔優矩陣

每週問題 May 1, 2017

證明嚴格對角佔優 (strictly diagonally dominant) 矩陣是可逆矩陣。 Let be an matrix. Prove that if for , then is invertible. Advertisements

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定常迭代法──線性方程的數值解法

本文的閱讀等級:中級 高斯消去法是當今最常被使用的線性方程解法 (見“高斯消去法”),它是一種直接法,即一次性地解決問題。對於一個 階方陣,高斯消去法耗用的運算量是 。如果我們面對的是一個大型的稀疏矩陣,這時可用迭代法來求解。所謂迭代法是指從一個初始估計值出發,尋找一系列近似解以期解決問題的方法。大致上,應用於解線性方程的迭代法可區分為兩類:定常迭代法 (stationary iterative method) 和 Krylov 法。定常迭代法相對古老,容易瞭解與實現,惟效果通常不佳。Krylov 法相對年輕,雖然較不易理解分析,但效果普遍優異。本文介紹定常迭代法,並討論其中三種主要方法。

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估計特徵值範圍的 Gershgorin 圓

本文的閱讀等級:中級 給定一 階方陣 ,例如, 如何估計 的特徵值於複數平面的座落位置?早於近代數值分析發展之前,白俄羅斯數學家葛西果靈 (S. A. Gershgorin) 在1931年就已提出一個簡單且有效的特徵值範圍估計方法,稱為 Gershgorin 圓。

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特殊矩陣 (12):對角佔優矩陣

本文的閱讀等級:初級 如果一 階矩陣 每一列 (row) 的主對角元的絕對值大於該列非主對角元絕對值之和,也就是說,對於 , , 我們稱 為嚴格對角佔優 (strictly diagonally dominant)。若每一 滿足 ,則稱為非嚴格對角佔優。例如, 是嚴格對角佔優矩陣因為

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