Tag Archives: 對角化

網友perlpython留言： 老師，你好。我想請問一下，關於二維空間的旋轉矩陣。它在角度等於0度和180度時，分別會有eigenvalue = 1,-1，這是很直觀從圖形上就可以得到的結果。此外，當角度是其他度數時，很明顯eigenvalue是不存在的，在實數系上因而沒辦法對角化。然而，當討論的區域是複數系時，對於旋轉矩陣而言，它是有辦法對角化的嗎？因為我在課本上只讀到，複數系有機會對角化，只是我不知道從何下手去討論？或是有背後的理論知識，如果有專有名詞，懇請老師稍微點一下，謝謝，感激不盡。

本文的閱讀等級：初級 《南嶽懷讓禪師傳》記載： 祖問：「甚麽處來？」 曰：「嵩山來。」 祖曰：「甚麽物，恁麽來？」師無語，經八載忽然有悟，乃白祖曰：「某甲有個會處。」 祖曰：「作麽生？」 師曰：「説似一物即不中。」 唐代懷讓禪師為尋訪善知識跑去嵩山謁見惠安國師，惠安指點他參訪曹溪六祖。禮拜畢，六祖問：「你從何處來？」懷讓回：「我從嵩山來。」六祖又問：「你是甚麼東西？怎麼來的？」懷讓當下無言以對，經過八年參究，一天豁然開悟，便對六祖說：「我想通了。」六祖問：「怎麼樣？」懷讓回：「說是甚麼東西都不對。」   特徵向量甚麽處來？問既一般，答亦相似，翻開課本就可以找到答案，定義有兩種版本。 線性變換版：令 為一個向量空間， 是一個線性變換。若非零向量 滿足 ，則 稱為對應特徵值 的特徵向量。 矩陣版：令 為一個 階矩陣。若非零向量 滿足 ，則 稱為對應特徵值 的特徵向量。 若繼續追問：特徵向量是甚麽物，恁麽來？「説似一物即不中」提點我們不要死執一法 (定義)，所以何妨「說似多物」，即便亂槍打鳥不中或許亦不遠矣。

網友JERRY留言： 已知 和 是二階方陣，怎麼找 使得 ？   答曰： 我們先舉一些例子看會發生何種情況。若 ，其中 是單位矩陣，則任一可逆矩陣 皆為解，因為 。若 ，則所有非零純量矩陣 ，，皆滿足要求，因為 。如果 使得 ，則對於任何 ，都有 。換句話說，當 是一致時 (即存在解)，必有無窮多組解。另一方面， 是否可能無解？是的。例如，，，則 。針對任意二階方陣 和 ，下面介紹兩種 的解法：線性方程與對角化。