Tag Archives: 對角化

每週問題 July 7, 2014

這是關於冪矩陣的計算問題,取自“台聯大2014年碩士班招生考試試題 (電機類工程數學A)”的部分試題。 Let . Find the minimum positive integer such that . Advertisements

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每週問題 February 17, 2014

這是關於具有矩陣乘法型態的線性變換的特徵值和對角化問題,取自2012年台聯大碩士班入學試題(工程數學B)。 Let be the vector space consisting of all matrices with real-valued entries and let be a linear operator on such that (a) Determine the eigenvalues of . (b) Find an ordered basis for such that is a diagonal matrix.

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每週問題 November 18, 2013

這是可對角化矩陣問題。 Suppose and are nonzero vectors in . Show that is diagonalizable if and only if .

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答matrices──關於矩陣二次方程的求解問題

網友matrices留言: 老師您好,當我們在解矩陣為係數的矩陣方程式時,譬如,,其中 、、 皆為矩陣且皆有反矩陣,是不是就整個卡住了?也就是說因為矩陣並非都具有交換律的關係,使得這個問題就在這個部分就此停住,還是說我仍然可以利用其他方法來求出 和 、 的關係?(我目前的想法是把 分成有交換律和沒有交換律兩者來討論。)

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答求知慾──關於分塊矩陣的冪矩陣

網友求知慾留言: 周老師您好:近期翻看線代啟示錄,關於分塊矩陣有些問題,請問是否能有方法將其作次方?若是普通矩陣可利用對角化作 次方,分塊矩陣則只翻閱到特殊矩陣的對角化,是否有其他分塊矩陣能夠利用對角化?或是有其他分法可以進行分塊矩陣的 次方?謝謝。

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答perlpython──關於二階旋轉矩陣的對角化問題

網友perlpython留言: 老師,你好。我想請問一下,關於二維空間的旋轉矩陣。它在角度等於0度和180度時,分別會有eigenvalue = 1,-1,這是很直觀從圖形上就可以得到的結果。此外,當角度是其他度數時,很明顯eigenvalue是不存在的,在實數系上因而沒辦法對角化。然而,當討論的區域是複數系時,對於旋轉矩陣而言,它是有辦法對角化的嗎?因為我在課本上只讀到,複數系有機會對角化,只是我不知道從何下手去討論?或是有背後的理論知識,如果有專有名詞,懇請老師稍微點一下,謝謝,感激不盡。

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每週問題 July 22, 2013

這是有關可對角化矩陣的問題。 Let be a real matrix. If , show that is diagonalizable.

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特徵向量是甚麽物,恁麽來?

本文的閱讀等級:初級 《南嶽懷讓禪師傳》記載: 祖問:「甚麽處來?」 曰:「嵩山來。」 祖曰:「甚麽物,恁麽來?」師無語,經八載忽然有悟,乃白祖曰:「某甲有個會處。」 祖曰:「作麽生?」 師曰:「説似一物即不中。」 唐代懷讓禪師為尋訪善知識跑去嵩山謁見惠安國師,惠安指點他參訪曹溪六祖。禮拜畢,六祖問:「你從何處來?」懷讓回:「我從嵩山來。」六祖又問:「你是甚麼東西?怎麼來的?」懷讓當下無言以對,經過八年參究,一天豁然開悟,便對六祖說:「我想通了。」六祖問:「怎麼樣?」懷讓回:「說是甚麼東西都不對。」   特徵向量甚麽處來?問既一般,答亦相似,翻開課本就可以找到答案,定義有兩種版本。 線性變換版:令 為一個向量空間, 是一個線性變換。若非零向量 滿足 ,則 稱為對應特徵值 的特徵向量。 矩陣版:令 為一個 階矩陣。若非零向量 滿足 ,則 稱為對應特徵值 的特徵向量。 若繼續追問:特徵向量是甚麽物,恁麽來?「説似一物即不中」提點我們不要死執一法 (定義),所以何妨「說似多物」,即便亂槍打鳥不中或許亦不遠矣。

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圓錐曲線

本文的閱讀等級:初級 任意二元二次方程式可表示為 , 其中 是實數且 不全為零 (否則二次方程退化為一次方程)。在卡氏座標系統中,二元二次方程的軌跡稱為圓錐曲線[1](conic section,也稱二次曲線)。本文介紹如何通過旋轉與平移,將任一圓錐曲線化簡至典型表達式。圓錐曲線共可區分為9種類別,根據典型表達式的推演結果,我們設計一組建立於行列式的判別式 (discriminant)。

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答JERRY──關於相似變換矩陣的解法

網友JERRY留言: 已知 和 是二階方陣,怎麼找 使得 ?   答曰: 我們先舉一些例子看會發生何種情況。若 ,其中 是單位矩陣,則任一可逆矩陣 皆為解,因為 。若 ,則所有非零純量矩陣 ,,皆滿足要求,因為 。如果 使得 ,則對於任何 ,都有 。換句話說,當 是一致時 (即存在解),必有無窮多組解。另一方面, 是否可能無解?是的。例如,,,則 。針對任意二階方陣 和 ,下面介紹兩種 的解法:線性方程與對角化。

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