Tag Archives: 差分方程

常係數線性遞迴關係式 (上)

本文的閱讀等級:初級 一 階常係數線性遞迴關係式 (linear recurrence relation) 可表示如下: , 其中 是常數,, 稱為控制項。滿足上式的序列 稱為線性遞迴數列,由設定的初始值 唯一決定。考慮較簡單的情況,,我們稱之為齊次 (homogeneous) 遞迴關係式。例如,費布納西 (Fibonacci) 數列 的二階遞歸生成規則如下 (見“費布納西數列的表達式”): , 初始條件為 和 。通項 的代數表達式有兩種常見解法:母函數法 (見“遞迴關係式的母函數解法”) 與線性代數法。下面以費布納西數列為例說明兩個線性代數解法。

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答r2123b──關於矩陣與遞迴關係式的特徵多項式

網友r2123b留言: 老師:請問線代的特徵多項式 跟求解遞迴方程式 ,,的 時所用的特徵多項式有什麼關聯嗎?為什麼都叫特徵多項式?

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特徵向量是甚麽物,恁麽來?

本文的閱讀等級:初級 《南嶽懷讓禪師傳》記載: 祖問:「甚麽處來?」 曰:「嵩山來。」 祖曰:「甚麽物,恁麽來?」師無語,經八載忽然有悟,乃白祖曰:「某甲有個會處。」 祖曰:「作麽生?」 師曰:「説似一物即不中。」 唐代懷讓禪師為尋訪善知識跑去嵩山謁見惠安國師,惠安指點他參訪曹溪六祖。禮拜畢,六祖問:「你從何處來?」懷讓回:「我從嵩山來。」六祖又問:「你是甚麼東西?怎麼來的?」懷讓當下無言以對,經過八年參究,一天豁然開悟,便對六祖說:「我想通了。」六祖問:「怎麼樣?」懷讓回:「說是甚麼東西都不對。」   特徵向量甚麽處來?問既一般,答亦相似,翻開課本就可以找到答案,定義有兩種版本。 線性變換版:令 為一個向量空間, 是一個線性變換。若非零向量 滿足 ,則 稱為對應特徵值 的特徵向量。 矩陣版:令 為一個 階矩陣。若非零向量 滿足 ,則 稱為對應特徵值 的特徵向量。 若繼續追問:特徵向量是甚麽物,恁麽來?「説似一物即不中」提點我們不要死執一法 (定義),所以何妨「說似多物」,即便亂槍打鳥不中或許亦不遠矣。

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利用馬可夫鏈計算擲幣事件發生的機率

本文的閱讀等級:中級 美國康乃爾大學心理學教授季洛維奇 (Thomas Gilovich) 每年都會在他的統計學課堂中安排一個實驗[1]。他要求每位學生各自寫下一組心中模擬投擲一枚公正硬幣20次所產生的隨機序列,分別以 O 和 X 代表正面和反面。但是,其中一位學生則被指派實際投擲一枚硬幣20次,也寫下他的實驗結果。季洛維奇在實驗進行前走出教室,等他返回教室後,他將接受一項挑戰:檢視所有學生繳交的實驗記錄,然後判斷其中那一張紙記載了實際擲幣產生的序列。季洛維奇總是能令學生們驚訝不已,他無一次例外地揀選出真實的擲幣序列。究竟他是怎麼辦到的?季洛維奇既沒有暗藏機關也不具特異能力,他掌握的技能不過就是「資訊不對稱」。身為心理學教授,他知道絕大多數人──包括教室中的學生──總是低估了出現連續正面或反面的機率。真實的擲幣結果幾乎都是那張記錄著最長的連續正面或反面的序列,例如: OXXXXXOXOOXOOXOOXOOX, 而學生們想像出來的擲幣序列則經常如下: XXOXOOOXOOXOXXOOXXOO。 本文的主題即在破解季洛維奇的戲法:釐清投擲一枚公正硬幣 次,計算出現至少連續 次正面的機率。

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費布納西數列的表達式

本文的閱讀等級:初級 公元十三世紀義大利數學家費布納西 (Leonardo Pisano Bigollo,又名 Leonardo Fibonacci) 在研究兔群生長的問題時發明了一種無窮數列:第0項為0,第1項為1,以後的各項等於之前兩項的和。後人稱它為費布納西數列,下面列出最初幾項: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144,… 費布納西數列和許多自然界現象的數學結構有密切關係。大多數植物的花瓣數目都屬於費布納西數 (費布納西數列的各項)。大型向日葵頭上的小花 (floret) 排列成兩組交錯螺線,一組順時針旋轉,另一組逆時針旋轉。兩組螺線確切的數目由品種決定,但通常是兩相鄰的費布納西數[1],譬如,34與55,或55與89[維基百科圖例]。不僅如此,兩相鄰費布納西數的比趨於黃金比例: 例如,55/34=1.6176470588…,89/55=1.6181818181…。西方人著迷黃金比例已有超過二千年的歷史[2],費布納西數列與黃金比例的特殊關係更因此讓它蒙上一層神秘色彩。由於上述種種原因,費布納西數列經常出現於大眾文化中,如電影、文學、視覺藝術,甚至音樂[3]。本文要討論的是一個單純的數學問題:推導費布納西數列的一般表達式。

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每週問題 February 15, 2010

本週問題是求一個三對角矩陣的特徵值和特徵向量。 點選問題↓ Pow-Feb-15-10 參考解答↓ PowSol-Feb-15-10

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利用 Jordan form 解差分方程與微分方程

本文的閱讀等級:中級 若 階矩陣 是可對角化的,則 可分解為 ,其中特徵向量矩陣 的行向量由 的特徵向量組成,特徵值矩陣 為對角矩陣,其主對角元即為特徵值。在此情況下,很容易計算冪矩陣 和矩陣指數 (請參考“矩陣指數”): 對角矩陣 的冪矩陣和矩陣指數分別具有以下的簡單形式:

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馬可夫過程

本文的閱讀等級:中級 馬可夫過程 (Markov process) 是一種隨機過程,這裡我們討論的是具有離散狀態的過程,也稱為馬可夫鏈 (Markov chain)。馬可夫鏈不僅是一個應用廣泛的模型分析工具,也是線性代數裡一些數值演算法的基礎。馬可夫鏈常以矩陣形式的差分方程描述,通過分析此問題可以了解動態過程如何由矩陣的特徵值和特徵向量規範。

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