Tag Archives: 希爾伯特空間

無限維向量空間的基底

本文的閱讀等級:高級 向量空間 的一組基底是一個向量集合 ,滿足兩個條件 (見“基底與維數常見問答集”): 是一個線性獨立集,即 蘊含 ; 生成 (span) ,即任何一個向量 可表示為 的線性組合,。 若基底是一個有限集,則 稱為有限維向量空間,否則稱為無限維向量空間。任何一個有限維向量空間都存在一組基底,維數定理 (dimension theorem) 聲明:有限維向量空間的任一組基底包含的向量數等於其他任何基底的向量數 (證明見[1],為了不中斷討論,證明都放在文末的註解)。根據維數定理,有限維向量空間 的維數定義為任何一組基底的基數 (cardinal number,集合的元素數),記為 。例如, 是所有的 維實向量 構成的向量空間,標準基底為 ,其中 是標準單位向量 (第 元為 ,其餘元為 ),故 。另外, 是所有的次數不大於 的複係數多項式 構成的向量空間,標準基底為 ,因此 。下面列舉幾個無限維向量空間[2]: 是複係數多項式 構成的向量空間; … Continue reading

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歐幾里得空間的數學結構

本文的閱讀等級:中級 歐幾里得空間 是有序數組 (稱為點或向量) 形成的集合,其中 為實數。在歐氏幾何中,譬如平面幾何與空間幾何,我們可以計算兩點之間的距離、多個向量的線性組合 (向量加法與純量乘法)、向量的長度,以及兩個向量之間的夾角。數學家將這些概念予以抽象化,並用公設化方式定義出不同的數學結構,稱為空間。在數學中,空間一詞並不單獨存在,我們可以稱 是一個集合,但不講 是一個空間。粗淺地說,空間是一個賦予某種數學結構的集合,該數學結構決定空間的名稱,例如線性代數讀者熟悉的向量空間。本文概述歐氏空間 的一些數學結構,背後的目的是將有限維空間延伸至無限維空間,其中最重要的一個特例是希爾伯特 (Hilbert) 空間。

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海森堡不確定性原理的矩陣證明

本文的閱讀等級:高級 在量子力學裏,不確定性原理[1](uncertainty principle) 表明:粒子的位置與動量不可同時被確定,位置的不確定性 與動量的不確定性 遵守不等式 , 其中 , 是普朗克常數[2](Planck constant)。海森堡[3] (Werner Heisenberg) 在1927年發表的一篇論文裏,寫下 。 雖然他提到這公式可以從對易關係 (稍後將說明) 推導出來,但他並沒有寫出相關的數學論證,也沒有給予 和 確切的定義。同年,肯納德 (Earl Hesse Kennard) 首先證明不確定關係不等式,1929年羅伯森 (Howard Percy Robertson) 又從對易關係推導出相同的結論[4]。本文使用現代讀者熟悉的矩陣分析方法證明不確定性原理。由於我對量子力學幾乎一無所知,在提到相關知識的時候均盡量列舉引用出處以方便讀者參照查詢。文中若有錯誤,敬請不吝指正。

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從幾何向量空間到函數空間

本文的閱讀等級:中級 基礎線性代數課程常將討論的向量空間侷限於有限維幾何向量空間 ,主要的原因有兩個:第一是不需要透過座標映射便可將矩陣結構與向量空間結合在一起;第二是幾何向量空間,譬如 與 是高中座標幾何的延伸,由此較容易建立起向量空間的觀念。本文採用問答方式,一步步系統化地介紹如何將幾何向量空間延伸推廣至函數空間。

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