Tag Archives: 帕斯卡三角形

二項式係數與組合問題

本文的閱讀等級:初級 在組合數學,從包含 個元素的集合中選取 個元素的組合數 (不考慮次序),記為 ,稱為二項式係數 (binomial coefficient)。我們先推導 的計算公式。設想有 個人在排隊買電影票,我們可以從 個人中選一人排在第一個位置,再從剩下的 個人裡選一人排在第二個位置,餘此類推,共有 種排列方式。再考慮第二種算法。電影院為鼓勵大眾及早排隊購票,特意準備了 張椅子,,供給排在最前面的 個人歇坐。針對這個情況,從 個人中選取 個人進入歇坐區有 種方式,歇坐區內的 個人有 種排列方式,歇坐區外的 個人有 種排列方式,因此 個人排隊共有 種排列方式。合併上面兩個結果,即得 , 並定義邊界條件 。根據對稱性,。   問題1:你邀請 位好友參加生日宴會,至少有一人出席生日宴會的來賓組合共有多少種? 因為至少有一個人出席派對,出席來賓的組合方式有 。   問題2:投擲一枚公正硬幣 次,出現至少一次正面的機率 (概率) 是多少? 出現 次反面的機率是 ,所以出現至少一次正面的機率是 … Continue reading

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二項式係數公式

本文的閱讀等級:初級 令 表示 個元素構成的集合。從 中選取 個元素的可能方式稱為組合,譬如,從 選取 個元素的組合如下: 。 計算 的 —組合數並不困難:想像 個元素排成一列,選取領先的 個元素,共有 種可能。這 個元素可以任意置換,每一種 —組合重複出現 次。所以,從包含 個元素的集合 中選取 個元素的組合數,記為 ,計算如下: 。 譬如,。我們稱 為二項式係數 (binomial coefficient)。這個名稱的由來係因 , 其中 是 的係數。從二項式係數的表達式可知縱使 不是整數,我們依然能定義 。為便於識別,我們用 代表任一實數, 代表任一整數,定義 。 見下表,非零的部分稱為帕斯卡三角形 (見“特殊矩陣 (15):Pascal 矩陣 … Continue reading

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特殊矩陣 (15):Pascal 矩陣 (上)

本文的閱讀等級:中級 二項式定理 (binomial theorem) 由牛頓於公元1664-65年間提出,此定理給出 的整數次冪展開公式: , 其中 為 取 的組合數目,稱為二項式係數,它遵守帕斯卡(Pascal)法則: 。 證明如下。令 表示 個元素構成的集合,設 ,由 中選取 個元素可分開兩種情況討論:若不取 ,則必須從 選取 個元素,組合數為 ;若選取 ,則還要從 取其餘 個元素,組合數為 。帕斯卡法則的代數證明請見“二項式係數公式”。

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