Tag Archives: 帕斯卡矩陣

三角圖案矩陣的逆矩陣

本文的閱讀等級:初級 令 為一個 階矩陣。若所有的 滿足 ,則 稱為上三角矩陣;若所有的 滿足 ,則 稱為下三角矩陣。上三角矩陣的逆矩陣仍為上三角矩陣 (見“三角矩陣的逆矩陣”)。因為 ,下三角矩陣的逆矩陣也是下三角矩陣。在不失一般性的原則下,以下討論限定於下三角矩陣。若下三角矩陣 是可逆的,則 的主對角元必不為零,且 ,。少數的下三角矩陣的逆矩陣無須計算即可求得。如果所有的主對角元為 且僅有一行不為零,稱為原子下三角矩陣,逆矩陣可由反轉非主對角元的正負號得到,例如, 。 本文介紹一些具有特殊圖案的下三角矩陣的逆矩陣。以下設 和 為下三角矩陣。所有的例子表示為 ,並給出 的推導證明。因為 是下三角矩陣,故僅須證明對於 ,,其中 為 Kronecker 記號: 若 ; 若 。 Advertisements

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特殊矩陣 (15):Pascal 矩陣 (下)

本文的閱讀等級:中級 我們將前文“特殊矩陣 (15):Pascal 矩陣 (上)”的主要結果整理於下。首先定義一 階創造矩陣 :若 ,,否則 。創造矩陣 衍生出矩陣指數,如下: , 其中 是實數。因為 是冪零矩陣,即對於 ,,故 可表示為 的 次多項式: 。 代入 ,可得 ;代入 ,可得 。展開上式等號右邊即推得 的 元:若 , ,否則 。提醒讀者,我們定義 若 , 若 。令帕斯卡矩陣為 (亦即若 ,,否則 ),所以對於任意實數 ,,並有以下必然結果: 。 當 ,即得 … Continue reading

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特殊矩陣 (15):Pascal 矩陣 (上)

本文的閱讀等級:中級 二項式定理 (binomial theorem) 由牛頓於公元1664-65年間提出,此定理給出 的整數次冪展開公式: , 其中 為 取 的組合數目,稱為二項式係數,它遵守帕斯卡(Pascal)法則: 。 證明如下。令 表示 個元素構成的集合,設 ,由 中選取 個元素可分開兩種情況討論:若不取 ,則必須從 選取 個元素,組合數為 ;若選取 ,則還要從 取其餘 個元素,組合數為 。帕斯卡法則的代數證明請見“二項式係數公式”。

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