Tag Archives: 常態分布

本文的閱讀等級：初級 《聖經》創世紀41(17-32)記載約瑟為法老解夢的故事。 法老對約瑟說：「我夢見我站在河邊，有七隻母牛從河裡上來，又肥壯又美好，在蘆荻中吃草。隨後又有七隻母牛上來，又軟弱又醜陋又乾瘦，在埃及遍地我沒有見過這樣不好的。這又乾瘦又醜陋的母牛吃盡了那以先的七隻肥母牛，吃了以後卻看不出是吃了，那醜陋的樣子仍舊和先前一樣。我就醒了。我又夢見一棵麥子，長了七個穗子，又飽滿又佳美。隨後又長了七個穗子，枯槁細弱，被東風吹焦了。這些細弱的穗子吞了那七個佳美的穗子。我將這夢告訴了術士，卻沒有人能給我解說。」 約瑟對法老說：「法老的夢乃是一個，神已將所要做的事指示法老了。七隻好母牛是七年，七個好穗子也是七年。這夢乃是一個。那隨後上來的七隻又乾瘦又醜陋的母牛是七年，那七個虛空、被東風吹焦的穗子也是七年，都是七個荒年。這就是我對法老所說，神已將所要做的事顯明給法老了。埃及遍地必來七個大豐年，隨後又要來七個荒年，甚至埃及地都忘了先前的豐收，全地必被饑荒所滅。因那以後的饑荒甚大，便不覺得先前的豐收了。至於法老兩回做夢，是因神命定這事，而且必速速成就。」 從古至今，世上每一個文明總會對「好景難常在，過眼韶華如箭」發出無奈的感嘆。然而，我們也都相信「柳暗花明又一村」，事情終有好轉的一天。「樂極生悲」和「否極泰來」真的是大自然的定則嗎？

本文的閱讀等級：中級 延續前文“動差生成函數 (上)”，本文將探討連續型隨機變數的動差生成函數。連續型隨機變數 的值域為全部實數或由一部分區間組成，即 ，其中 。連續型隨機變數 的機率分布一般以下面兩種方式表示： 機率密度函數 (probability density function) 滿足 。 累積分布函數 代表 。 連續型隨機變數 的期望值 和變異數 定義為 我們稱 的期望值為 的 次動差，表示如下： ， 前提是上式必須收斂。連續型隨機變數 的動差生成函數定義為 ， 其中最後一個等號係因 是隨機變數的線性算子。計算 在 的 次導數可得 ，因為 立得 。