Tag Archives: 幾何重數

本文的閱讀等級：中級 令 為一個 階複矩陣，。若存在一個同階可逆矩陣 使得 為對角矩陣，其主對角元為 的特徵值，則 稱為可對角化 (diagonalizable)， 稱為譜分解 (spectral decomposition，見“可對角化矩陣的譜分解”)。令 為 的相異特徵值組成的集合。下面列舉三個可對角化矩陣 的等價條件： 每一特徵值 的代數重數等於幾何重數 (見“可對角化矩陣與缺陷矩陣的判定”)，即 (見“特徵值的代數重數與幾何重數”)，這裡 表示矩陣 的零空間 (nullspace)； 每一特徵值 的指標 (index) 等於 ，也就是說 的 Jordan 矩陣的每一個 Jordan 分塊的階數為 ，即純量 (見“Jordan 形式大解讀 (上)”)； 最小多項式為 ，也就是說 (見“最小多項式 (下)”)。

本文的閱讀等級：中級 令 為一個 階矩陣， 為一個 階矩陣。即便 和 是同階方陣，矩陣乘法不滿足交換律，但 與 有一個重要的不變量──相同的非零特徵值 (見“AB 與 BA 有何關係？”，“分塊矩陣的解題案例──逆矩陣與矩陣乘積的特徵值”)。精確地說，若 為 的特徵值，代數重數為 ，則 也是 的特徵值，代數重數為 。自然地，我們會問： 與 的非零特徵值 的幾何重數 (特徵空間維數，見“特徵值的代數重數與幾何重數”) 是否相同？答案是肯定的。這篇短文證明 ， 其中 表示方陣 的零空間 (nullspace)。

本文的閱讀等級：中級 在矩陣分析中，對角化 (diagonalization) 是一個非常重要的概念與工具。如果 階矩陣 相似於一個對角矩陣，我們稱 是可對角化矩陣 (diagonalizable matrix)，具體地說，存在一個同階可逆矩陣 使得 為對角矩陣，意味矩陣 可分解為 。矩陣的對角化與特徵分析有密切的關係，對角矩陣 的主對角元 為 的特徵值，而對角化的變換矩陣 的行向量 (column vector) 為對應特徵值 的特徵向量，。可對角化矩陣的直觀解釋是如果以特徵向量 當作基底，則參考這組基底的線性變換表示矩陣，即特徵值矩陣 ，具有最簡約的主對角形式。本文介紹可對角化矩陣的另一個分解表達式，稱為譜分解 (spectral decomposition) 或譜定理，它的特點是能夠表現更豐富的幾何意義，同時也具備簡化可對角化矩陣函數計算的功用 (見“矩陣函數 (上)”)。

本文的閱讀等級：高級 美國詩人佛洛斯特 (Robert Frost) 最常被吟誦的一首詩大概是〈未擇之路〉(The road not taken)。這首詩意境優美，淺白詩句底下蘊含人生省思，全詩分四段，這是第一段[1]： Two roads diverged in a yellow wood, And sorry I could not travel both And be one traveler, long I stood And looked down one as far as I could To where … Continue reading →