Tag Archives: 幾何重數

可對角化的特殊矩陣

本文的閱讀等級:中級 令 為一個 階複矩陣,。若存在一個同階可逆矩陣 使得 為對角矩陣,其主對角元為 的特徵值,則 稱為可對角化 (diagonalizable), 稱為譜分解 (spectral decomposition,見“可對角化矩陣的譜分解”)。令 為 的相異特徵值組成的集合。下面列舉三個可對角化矩陣 的等價條件: 每一特徵值 的代數重數等於幾何重數 (見“可對角化矩陣與缺陷矩陣的判定”),即 (見“特徵值的代數重數與幾何重數”),這裡 表示矩陣 的零空間 (nullspace); 每一特徵值 的指標 (index) 等於 ,也就是說 的 Jordan 矩陣的每一個 Jordan 分塊的階數為 ,即純量 (見“Jordan 形式大解讀 (上)”); 最小多項式為 ,也就是說 (見“最小多項式 (下)”)。 … Continue reading

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AB 與 BA 的關係:特徵空間篇

本文的閱讀等級:中級 令 為一個 階矩陣, 為一個 階矩陣。即便 和 是同階方陣,矩陣乘法不滿足交換律,但 與 有一個重要的不變量──相同的非零特徵值 (見“AB 與 BA 有何關係?”,“分塊矩陣的解題案例──逆矩陣與矩陣乘積的特徵值”)。精確地說,若 為 的特徵值,代數重數為 ,則 也是 的特徵值,代數重數為 。自然地,我們會問: 與 的非零特徵值 的幾何重數 (特徵空間維數,見“特徵值的代數重數與幾何重數”) 是否相同?答案是肯定的。這篇短文證明 , 其中 表示方陣 的零空間 (nullspace)。

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特徵值的代數重數與幾何重數

本文的閱讀等級:中級 令 為一個 階矩陣。若存在一個非零向量 使得 ,我們稱 是 的一個特徵值, 是對應 的特徵向量。將上式寫為 ,可知 的零空間 (nullspace) (或稱對應 的特徵空間) 包含非零向量,故 是不可逆矩陣,也就是說 。因此,我們定義 的特徵多項式為 ,特徵值 即為 的根。若 有 個相異特徵值 ,,特徵多項式可分解如下: , 其中特徵值 的重根數 稱為代數重數 (algebraic multiplicity)。因為 次多項式 有 個根 (包含重根),。特徵空間 的維數 稱為 的幾何重數 (geometric multiplicity),也就是對應 … Continue reading

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冪矩陣的特徵值與特徵向量

本文的閱讀等級:中級 令 為 階矩陣, 為特徵值 (包含相重特徵值), 為對應的特徵向量。如果已知 的所有特徵值和對應的特徵向量,我們能否找出冪矩陣 ,,的所有特徵值和對應的特徵向量?使用 ,計算可得 故知 有特徵值 ,對應的特徵向量是 。這個結果是否表示我們已經找齊了 的特徵值與對應的特徵向量?看下面的例子: 的特徵值為 和 ,對應的特徵向量分別為 和 。然而, 的特徵值為 和 ,對應的特徵向量分別為 , 和 。冪矩陣 的特徵值確實是 ,但對應的特徵向量除了包含 的特徵向量外,還多一個線性獨立的特徵向量 。換一個說法, 不可對角化 (因為不存在 個線性獨立的特徵向量), 卻可對角化。為甚麼會有這樣奇怪的現象?下面我們就來探討冪矩陣的最大線性獨立的特徵向量數增多的原因。

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幾何重數不大於代數重數的證明

本文的閱讀等級:中級 給定一個 階矩陣 ,特徵值 是特徵多項式 的根,重根數稱為代數重數 (algebraic multiplicity)。對應特徵值 ,所能找到最大的線性獨立向量數,也就是特徵空間的維數 ,稱為 的幾何重數 (geometric multiplicity)。見下例, 。 上三角矩陣的主對角元為其特徵值,可知 的特徵值為 ;特徵值 的代數重數是 ,特徵值 的代數重數是 。對應特徵值 , 有一個特徵向量 ,幾何重數為 ;對應特徵值 , 有一個特徵向量 ,幾何重數為 。本文利用矩陣三角化證明:對應每一個特徵值,幾何重數必不大於代數重數。(其他證法請參閱“特徵值的代數重數與幾何重數”,“可對角化矩陣與缺陷矩陣的判定”,“拒絕行列式的特徵分析”。)

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特殊矩陣 (18):正矩陣

本文的閱讀等級:高級 令 為一 階實矩陣。若每一 ,我們稱 是正矩陣 (positive matrix),記為 。(注意,在其他文章我用 表示 是正定矩陣。) 若每一 ,則 稱為非負矩陣 (nonnegative matrix),記為 。推廣至更一般的情況, 代表每一 , 代表每一 。因為 維實向量可視為 階矩陣,故同樣有正向量和非負向量的概念。相反關係 和 也按類似方式定義。正矩陣和非負矩陣出現於許多應用問題中,例如,馬可夫過程 (見“馬可夫過程”) 和圖論模型的鄰接矩陣 (見“Google 搜尋引擎使用的矩陣運算”,“線性代數在圖論的應用 (一):鄰接矩陣”)。本文介紹 階正矩陣的特徵值和特徵向量性質,這些結果統稱為 Perron 定理[1]。

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Jordan 形式大解讀 (上)

本文的閱讀等級:高級 給定兩個同階方陣 和 ,如何判斷 是否相似於 ?理論上,我們可以根據相似矩陣的定義來判定:若存在一個可逆矩陣 使得 ,則 相似於 。對於 階矩陣 和 ,相似關係 給出一個包含 個未知數 ( 的所有元) 的線性方程,很明顯,直接解 矩陣絕不是一個理想的方法。相似矩陣擁有許多不變性質,例如,特徵多項式、特徵值、行列式、跡數,與矩陣秩 (詳見“相似變換下的不變性質”),然而這些性質都不足以構成相似關係的充要條件。在“如何檢查兩矩陣是否相似”一文,我們曾經以特徵值和可對角化兩性質嘗試回答此問題,但並未獲得完整的結論。判斷兩個方陣是否相似的終極方法是檢查它們的 Jordan 形式 (Jordan form):若 和 有相同的 Jordan 形式,則 相似於 ,相反方向的論述也成立 (參閱“Jordan 典型形式淺說(上)”)。

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可對角化矩陣的譜分解

本文的閱讀等級:中級 在矩陣分析中,對角化 (diagonalization) 是一個非常重要的概念與工具。如果 階矩陣 相似於一個對角矩陣,我們稱 是可對角化矩陣 (diagonalizable matrix),具體地說,存在一個同階可逆矩陣 使得 為對角矩陣,意味矩陣 可分解為 。矩陣的對角化與特徵分析有密切的關係,對角矩陣 的主對角元 為 的特徵值,而對角化的變換矩陣 的行向量 (column vector) 為對應特徵值 的特徵向量,。可對角化矩陣的直觀解釋是如果以特徵向量 當作基底,則參考這組基底的線性變換表示矩陣,即特徵值矩陣 ,具有最簡約的主對角形式。本文介紹可對角化矩陣的另一個分解表達式,稱為譜分解 (spectral decomposition) 或譜定理,它的特點是能夠表現更豐富的幾何意義,同時也具備簡化可對角化矩陣函數計算的功用 (見“矩陣函數 (上)”)。

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拒絕行列式的特徵分析

本文的閱讀等級:高級 美國詩人佛洛斯特 (Robert Frost) 最常被吟誦的一首詩大概是〈未擇之路〉(The road not taken)。這首詩意境優美,淺白詩句底下蘊含人生省思,全詩分四段,這是第一段[1]: Two roads diverged in a yellow wood, And sorry I could not travel both And be one traveler, long I stood And looked down one as far as I could To where … Continue reading

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相合變換

本文的閱讀等級:高級 理解線性代數各主要變換核心觀念和運算機制的一個有效方法是將研究焦點放在變換的不變性質上。例如,高斯消去法運用基本列運算產生列等價梯形矩陣,其效果等於左乘矩陣 一基本矩陣 ,表示如 (見“特殊矩陣 (10):基本矩陣”)。若一列減去另一列與某數的乘積,矩陣的許多性質維持不變,包括矩陣秩、列空間、零空間,以及行列式。又如相似變換 的基本運算為基底變換,目的是為了化簡矩陣成為對角形式或 Jordan 形式,此過程不改變矩陣秩、行列式、跡數、特徵值和 Jordan 形式 (見“相似變換下的不變性質”)。針對對稱矩陣或 Hermitian 矩陣 ,我們也可以問:二次型 或 的基本運算為何?哪些性質不受此運算改變?

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