Tag Archives: 座標向量

答Vahi Chen──關於矩陣的轉置的線性變換表示矩陣

網友Vahi Chen留言: 周老师,您好!向您请教一个问题。我们知道: 线性变换可以表示为矩阵的乘积; 矩阵的转置是一个线性函数; 不存在一个矩阵 ,使得对于任意一个矩阵 ,都有 。 但若给定一个矩阵 ,我们是否总能找到一个矩阵 ,使其满足 ?而显然答案是否定的。考虑 ,满足该等式的 并不存在。所以,我的疑问是既然矩阵转置是线性函数,而线性函数又可以表示为矩阵的乘积,但针对上述的特例,这样的矩阵却有可能不存在。“可以表示”和“有可能不存在”这两者是否互为矛盾,或者这二者之间存在怎样的一种联系?是否可以说:“线性变换并不总是能表示为矩阵的乘积,因为这样的矩阵可能并不存在”? Advertisements

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線性變換觀點下的奇異值分解

本文的閱讀等級:中級 1960年代初以前,奇異值分解 (singular value decomposition,簡稱 SVD) 普遍被視為一個模糊的理論概念,原因在於當時並不具備實際可行的算法。自從美國計算機科學教授格魯布 (Gene Golub) 與卡韓 (William Kahan) 於1965年率先發表了第一個有效的算法後,奇異值分解的價值才逐漸受到學者肯定,至今已成為線性代數中應用最廣的矩陣分解式[1]。為甚麼奇異值分解這麼重要?這個問題可以從兩個層面加以剖析:奇異值分解的運作原理是甚麼?奇異值分解有哪些經典的應用?本文針對第一個問題提供部分解答。我們從線性變換觀點解釋奇異值分解的運算與意義,並藉此聯繫線性代數的一些核心概念,如值域、核、基本子空間、正交基底和座標變換。 (關於奇異值分解的推導和應用請參閱“奇異值分解專題”列舉的相關文章。)

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限定算子的特徵值與特徵向量 (上)

本文的閱讀等級:中級 令 為一向量空間, 為一線性變換 (亦稱線性算子)。若 是 的一個子空間,且對於每一 ,都有 ,即 ,則 稱為 的不變子空間 (invariant subspace)。我們可以設定不變子空間 等於 的定義域和到達域,稱為限定算子 (restriction),記作 。限定算子和不變子空間是一套極為有效的線性算子結構分析工具 (見“不變子空間──解構線性算子的利器”),本文介紹限定算子的特徵值與特徵向量計算方法。

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圖解基底變換、座標變換、相似變換與相似矩陣

本文的閱讀等級:中級 在線性變換中,最令學者困惑的主題莫過於揉合了基底、座標、線性變換與其表示矩陣的變換問題。令 為一個定義於 的向量空間,。設 和 是向量空間 的兩組基底。以下是四個典型的變換問題[1]。 Q1 基底變換:若 , 且 ,向量 和 有甚麼關係? Q2 座標變換:若 ,,座標 和 有甚麼關係? Q3 相似變換:若 且 ,,線性變換 和 有甚麼關係? Q4 相似矩陣:若 且 ,,矩陣 和 有甚麼關係?

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啊哈!原來變換矩陣這麼簡單

本文的閱讀等級:中級 美國業餘數學大師加德納 (Martin Gardner) 說[1]: 數學家的腦子中總是在找更簡單的方法來解定理和解題目。通常第一個解題方式會寫上滿滿的五十頁,都是深奧、技術性的推理;接著過了幾年以後,另一位數學家,也許比較沒名氣,會突然靈光一現想出一個非常簡單的解法,且只需幾行就解出來了。這類的靈光乍現,想出簡短而優雅的方式來解決問題,現在被心理學家稱之為「啊哈!有了!」(Aha! reactions)。 線性代數的一些抽象概念和理論經常令初學者感到難以掌握,其中線性變換的表示矩陣和參考不同基底之間的座標變換尤其晦澀難懂,部分原因是內容涉及較為複雜的符號表述,但最主要原因其實是目前採用的推論程序過於繁瑣且不具直覺。針對這個主題,我曾經嘗試過不同的講解方式 (見“基底變換”,“線性變換表示矩陣”,“座標變換與基底變換的對應關係”),但都談不上淺顯易懂,更別說讓讀者驚呼「啊哈」!

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座標變換與基底變換的對應關係

本文的閱讀等級:中級 基底 (或簡稱基) 是附著於向量空間的一組座標系統。設 是 維向量空間 的一組基底,我們知道任何向量 都可以寫成基底向量 的線性組合 而且權重 由向量 唯一決定。將有序純量 視為 向量 (複數空間則為 ),記作 ,意指 參考基底 的座標向量。因為向量 和座標向量 存在一對一的映射關係: 我們稱向量空間 和幾何向量空間 是同構的 (isomorphic,“同構的向量空間”)。座標映射的實際功用是把發生於向量空間 的問題搬移至另一個富含幾何意義的 空間來處理,待處理完畢後,再將結果轉換回原本的 空間。顯然,一向量若參考不同的座標系統 (即基底),便有不同的座標;反過來講,在不同的座標系統下,同一座標向量則對應不同的向量。本文稱前者為座標變換 (change of coordinates),後者為基底變換 (change of basis)。不過,這僅是為了方便討論才如此區分,許多文獻並不必然採用本文的定義。

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線性變換表示矩陣

本文的閱讀等級:初級 矩陣是線性代數處理分析的基本數學物件,但是幾乎沒有任何教科書曾經給出嚴格的公理化定義。儘管矩陣允許非常多不同面貌的解釋方案,我們對矩陣的認知大致可以區分為兩種觀點:矩陣是數字組合的矩形陣列,例如,一幅影像包含的像素,或一頁試算表所儲存資料;另一種位階較高的觀點是將矩陣視為介於兩向量空間的線性變換表達形式,而矩陣之所以對處理線性問題極其重要也正是因為這個緣故。本文將解釋何謂線性變換表示矩陣,並由線性變換基本性質推演出一套合理且自然的矩陣運算規則。

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基底變換

本文的閱讀等級:中級 基底變換 (change of basis) 與座標變換 (change of coordinates) 是初學者最難掌握的線性代數主題之一。表面上,基底變換似乎是個莫名其妙的觀念,閒閒沒事幹,為什麼非要改變基底呢?主要原因有二,第一是為了配合應用問題,運用我們的領域知識常可以設計出較能顯現問題特性的基底。舉例來說,農業專家將農地劃分如「田」字的四個等面積區塊,再將各區塊的年收成以 階矩陣表示如下: 農業專家選擇以下的基底並賦予其意義: 表示區塊的平均收成, 測量南北梯度成分, 測量東西梯度成分, 則度量沿 的斜角鞍形成分。收成矩陣 可表示為基底的線性組合: 依序收集四個權重值便組合成 參考基底 的係數向量或稱座標向量,記為 ,如下: 係數向量抽取出易於解讀的資訊:平均收成是 ,南北梯度成分 並不顯著,未發現東西梯度效應,但斜角鞍形成分有 個單位。

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