Tag Archives: 座標變換

每週問題 June 13, 2016

本週問題是推導兩個座標系統的變換矩陣。 Let and be bases for a subspace in . Let and . Show that the change of coordinates matrix from to is . Advertisements

Posted in pow 線性變換, 每週問題 | Tagged , | Leave a comment

答Eric──關於參考不同的定義域基底與到達域基底的線性變換表示矩陣的逆矩陣

網友Eric留言: 您好,我剛初學到這個環節,看了此文後 (答npes_87184──關於參考不同的定義域基底與到達域基底的線性變換表示矩陣轉換問題),想請教兩個問題: 令 為向量空間, 和 為其上兩組基底,,則 不一定存在吧?是故縱 存在, 也不一定存在吧? 令 存在反函數 ,則矩陣表示法 及 的關係即是 ,我以為似乎不必大費周章討論那麼多?

Posted in 答讀者問, 線性變換 | Tagged , , | Leave a comment

答npes_87184──關於參考不同的定義域基底與到達域基底的線性變換表示矩陣轉換問題

網友npes_87184留言: 線性變換 的定義域與到達域都是向量空間 ,且 和 是 的兩組基底。如果我知道 ,有辦法求得 ?

Posted in 答讀者問, 線性變換 | Tagged , , | 5 Comments

線性變換觀點下的奇異值分解

本文的閱讀等級:中級 1960年代初以前,奇異值分解 (singular value decomposition,簡稱 SVD) 普遍被視為一個模糊的理論概念,原因在於當時並不具備實際可行的算法。自從美國計算機科學教授格魯布 (Gene Golub) 與卡韓 (William Kahan) 於1965年率先發表了第一個有效的算法後,奇異值分解的價值才逐漸受到學者肯定,至今已成為線性代數中應用最廣的矩陣分解式[1]。為甚麼奇異值分解這麼重要?這個問題可以從兩個層面加以剖析:奇異值分解的運作原理是甚麼?奇異值分解有哪些經典的應用?本文針對第一個問題提供部分解答。我們從線性變換觀點解釋奇異值分解的運算與意義,並藉此聯繫線性代數的一些核心概念,如值域、核、基本子空間、正交基底和座標變換。 (關於奇異值分解的推導和應用請參閱“奇異值分解專題”列舉的相關文章。)

Posted in 線性代數專欄, 二次型 | Tagged , , , , , , , , | 4 Comments

圖解基底變換、座標變換、相似變換與相似矩陣

本文的閱讀等級:中級 在線性變換中,最令學者困惑的主題莫過於揉合了基底、座標、線性變換與其表示矩陣的變換問題。令 為一個定義於 的向量空間,。設 和 是向量空間 的兩組基底。以下是四個典型的變換問題[1]。 Q1 基底變換:若 , 且 ,向量 和 有甚麼關係? Q2 座標變換:若 ,,座標 和 有甚麼關係? Q3 相似變換:若 且 ,,線性變換 和 有甚麼關係? Q4 相似矩陣:若 且 ,,矩陣 和 有甚麼關係?

Posted in 線性變換, 線性代數專欄 | Tagged , , , , | Leave a comment

答林容麟──關於座標變換矩陣的快捷算法

網友林容麟留言: 周老師您好。在 2010/02/problem-set-7-2010 的練習題的第一題(c),要找出 change-of-coordinates matrix from basis to ,請問一下這個矩陣的係數是要怎麼找比較快,像這題答案是 ,那麼若題目的基底(basis)包含4個向量,解出 階 change-of-coordinates matrix 不是很費時嗎?謝謝~   答曰: 我將原問題符號稍做更改,抄錄於下:設 空間中子空間 有兩組 (有序) 基底: 。 求從基底 至基底 的座標變換矩陣 (change-of-coordinates matrix),記為 。

Posted in 答讀者問, 線性變換 | Tagged , , | Leave a comment

每週問題 February 6, 2012

這是線性變換表示矩陣問題,並運用此表示矩陣計算值域與核的基底。 Pow-Feb-6-12 參考解答 PowSol-Feb-6-12

Posted in pow 線性變換, 每週問題 | Tagged , | 13 Comments

每週問題 November 22, 2010

這是線性變換表示矩陣以及座標變換矩陣的練習題。 Pow-Nov-22-10 參考解答 PowSol-Nov-22-10

Posted in pow 線性變換, 每週問題 | Tagged | Leave a comment

啊哈!原來變換矩陣這麼簡單

本文的閱讀等級:中級 美國業餘數學大師加德納 (Martin Gardner) 說[1]: 數學家的腦子中總是在找更簡單的方法來解定理和解題目。通常第一個解題方式會寫上滿滿的五十頁,都是深奧、技術性的推理;接著過了幾年以後,另一位數學家,也許比較沒名氣,會突然靈光一現想出一個非常簡單的解法,且只需幾行就解出來了。這類的靈光乍現,想出簡短而優雅的方式來解決問題,現在被心理學家稱之為「啊哈!有了!」(Aha! reactions)。 線性代數的一些抽象概念和理論經常令初學者感到難以掌握,其中線性變換的表示矩陣和參考不同基底之間的座標變換尤其晦澀難懂,部分原因是內容涉及較為複雜的符號表述,但最主要原因其實是目前採用的推論程序過於繁瑣且不具直覺。針對這個主題,我曾經嘗試過不同的講解方式 (見“基底變換”,“線性變換表示矩陣”,“座標變換與基底變換的對應關係”),但都談不上淺顯易懂,更別說讓讀者驚呼「啊哈」!

Posted in 線性變換, 線性代數專欄 | Tagged , , | 4 Comments

座標變換與基底變換的對應關係

本文的閱讀等級:中級 基底 (或簡稱基) 是附著於向量空間的一組座標系統。設 是 維向量空間 的一組基底,我們知道任何向量 都可以寫成基底向量 的線性組合 而且權重 由向量 唯一決定。將有序純量 視為 向量 (複數空間則為 ),記作 ,意指 參考基底 的座標向量。因為向量 和座標向量 存在一對一的映射關係: 我們稱向量空間 和幾何向量空間 是同構的 (isomorphic,“同構的向量空間”)。座標映射的實際功用是把發生於向量空間 的問題搬移至另一個富含幾何意義的 空間來處理,待處理完畢後,再將結果轉換回原本的 空間。顯然,一向量若參考不同的座標系統 (即基底),便有不同的座標;反過來講,在不同的座標系統下,同一座標向量則對應不同的向量。本文稱前者為座標變換 (change of coordinates),後者為基底變換 (change of basis)。不過,這僅是為了方便討論才如此區分,許多文獻並不必然採用本文的定義。

Posted in 線性變換, 線性代數專欄 | Tagged , , , , , | Leave a comment