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每週問題 November 9, 2015

這是廣義特徵值 (generalized eigenvalue) 問題。 Let and be matrices. If is nonsingular, show that there is a complex scalar such that is singular. Advertisements

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廣義特徵值問題

本文的閱讀等級:高級 對於 階矩陣 ,一般特徵值問題欲解出 ,其中 是 的特徵值, 是對應的特徵向量。在一些工程和統計問題中,譬如,自由振動系統,譜聚類分析 (spectral clustering)[1],我們面對的是廣義特徵值 (generalized eigenvalue) 問題:,其中 和 是兩個 階 Hermitian 矩陣 (或實對稱矩陣), 稱為 和 的廣義特徵值, 是對應的廣義特徵向量[2]。在多數的應用場合, 是一正定矩陣。本文將推導自由振動系統的動態方程 (譜聚類分析較為複雜,他日另文介紹),證明優化廣義 Rayleigh 商 (quotient) 等價於廣義特徵值問題,並討論廣義特徵值與廣義特徵向量的性質與算法。

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