Tag Archives: 廣義特徵向量

Jordan-Chevalley 分解

本文的閱讀等級:高級 對於一 階複矩陣 ,Jordan-Chevalley 分解[1]是指存在唯一的可對角化矩陣 與冪零 (nilpotent) 矩陣 使得 且 (稱為可交換)。對於複矩陣,Jordan-Chevalley 分解很容易以 Jordan 典型形式表達 (見“Jordan 形式大解讀 (上)”)。我們利用 Jordan 形式證明 Jordan-Chevalley 分解的存在性與唯一性。 Advertisements

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特徵值的代數重數與幾何重數

本文的閱讀等級:中級 令 為一個 階矩陣。若存在一個非零向量 使得 ,我們稱 是 的一個特徵值, 是對應 的特徵向量。將上式寫為 ,可知 的零空間 (nullspace) (或稱對應 的特徵空間) 包含非零向量,故 是不可逆矩陣,也就是說 。因此,我們定義 的特徵多項式為 ,特徵值 即為 的根。若 有 個相異特徵值 ,,特徵多項式可分解如下: , 其中特徵值 的重根數 稱為代數重數 (algebraic multiplicity)。因為 次多項式 有 個根 (包含重根),。特徵空間 的維數 稱為 的幾何重數 (geometric multiplicity),也就是對應 … Continue reading

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Jordan 分塊

本文的閱讀等級:中級 在線性代數中,所謂「相似家族」是指其中成員矩陣彼此具有相似關係。具體地說,若 和 同屬一個「相似家族」,即 相似於 ,則存在一可逆矩陣 使得 。相似是一種等價關係,相似變換下的不變性質包括:特徵多項式、最小多項式、特徵值、行列式、跡數、矩陣秩,以及 Jordan 典型形式 (見“相似變換下的不變性”)。Jordan 形式因創造人法國數學家約當 (Camille Jordan) 而得名。Jordan 分塊為一上三角矩陣,其中主對角元是相同常數,設為 ,主對角上標元 (superdiagonal) 都等於 ,其上的所有元為零,如下所示: 。 Jordan 矩陣是由 Jordan 分塊構成的分塊對角矩陣,或者說 Jordan 矩陣是 Jordan 分塊的直和 (direct sum),如下例: 。 Jordan 形式定理表明任一 階矩陣 必可表示為 Jordan 典型形式 (或稱 Jordan … Continue reading

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Jordan 形式大解讀之尋找廣義特徵向量

本文的閱讀等級:高級 令 為一 階矩陣。我們曾經在“Jordan 形式大解讀(下)”發展了一個 Jordan 形式演算法,得到 Jordan 矩陣 與可逆矩陣 並使 ,簡述於下: 求出 的所有相異特徵值 ,,特徵值 的代數重數 ,以及幾何重數 。 針對每一相異特徵值 ,找出 階超級 Jordan 分塊 ,它包含 個基本 Jordan 分塊,所有的 的直和即為 Jordan 矩陣 。 對於 的每個相異特徵值 ,根據步驟 (2) 得到的超級 Jordan 分塊 ,解出對應各基本 Jordan … Continue reading

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Jordan 形式大解讀 (下)

本文的閱讀等級:高級 前文“Jordan 形式大解讀(上)”說明了 Jordan 矩陣 蘊含的矩陣特徵訊息,本文將利用這些結果設計一個 Jordan 典型形式計算法。考慮以下問題:給定一 階矩陣 ,試求一 階可逆矩陣 使得 ,其中 為 Jordan 矩陣。我們假設已經得知 的所有相異特徵值 ,,但各個特徵值的相重數可以是未知的。下面介紹的演算法分為兩階段:先解出 Jordan 矩陣 ,再推算相似變換矩陣 。

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拒絕行列式的特徵分析

本文的閱讀等級:高級 美國詩人佛洛斯特 (Robert Frost) 最常被吟誦的一首詩大概是〈未擇之路〉(The road not taken)。這首詩意境優美,淺白詩句底下蘊含人生省思,全詩分四段,這是第一段[1]: Two roads diverged in a yellow wood, And sorry I could not travel both And be one traveler, long I stood And looked down one as far as I could To where … Continue reading

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Jordan 典型形式淺說 (下)

本文的閱讀等級:中級 本文利用一個例子說明 階矩陣 的 Jordan 典型形式的存在性。我們從相反方向開始討論,考慮下面的 Jordan 矩陣 。 Jordan 矩陣 的特徵值 的重數為 ,但僅有一特徵向量 ,對應 分塊 。另外, 有重複 次的特徵值 和 個獨立特徵向量 ,,分別對應 分塊 和 分塊 。

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