Tag Archives: 廣義特徵向量

Jordan-Chevalley 分解

Posted on 12/21/2015 by ccjou

本文的閱讀等級：高級 對於一 階複矩陣 ，Jordan-Chevalley 分解[1]是指存在唯一的可對角化矩陣 與冪零 (nilpotent) 矩陣 使得 且 (稱為可交換)。對於複矩陣，Jordan-Chevalley 分解很容易以 Jordan 典型形式表達 (見“Jordan 形式大解讀 (上)”)。我們利用 Jordan 形式證明 Jordan-Chevalley 分解的存在性與唯一性。

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特徵值的代數重數與幾何重數

Posted on 11/19/2015 by ccjou

本文的閱讀等級：中級 令 為一個 階矩陣 (或稱方陣)。若存在一個非零向量 使得 ，則稱 是 的一個特徵值， 是對應 的特徵向量。將上式改寫為 ，即知 矩陣的零空間 (nullspace) 包含非零向量，也稱為對應 的特徵空間，記作 。所以， 是不可逆的，亦即 ，於是我們定義方陣 的特徵多項式為 ，特徵值 即為 的根。假設 有 () 個相異特徵值 ，特徵多項式可分解為 ， 其中特徵值 的重根數 稱為代數重數 (algebraic multiplicity)。顯然， 次多項式 有 個根 (包含重根)，可知 。特徵空間 的維數 稱為 … Continue reading →

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Jordan 分塊

Posted on 11/26/2013 by ccjou

本文的閱讀等級：中級 在線性代數中，所謂「相似家族」是指其中成員矩陣彼此具有相似關係。具體地說，若 和 同屬一個「相似家族」，即 相似於 ，則存在一可逆矩陣 使得 。相似是一種等價關係，相似變換下的不變性質包括：特徵多項式、最小多項式、特徵值、行列式、跡數、矩陣秩，以及 Jordan 典型形式 (見“相似變換下的不變性”)。Jordan 形式因創造人法國數學家約當 (Camille Jordan) 而得名。Jordan 分塊為一上三角矩陣，其中主對角元是相同常數，設為 ，主對角上標元 (superdiagonal) 都等於 ，其上的所有元為零，如下所示： 。 Jordan 矩陣是由 Jordan 分塊構成的分塊對角矩陣，或者說 Jordan 矩陣是 Jordan 分塊的直和 (direct sum)，如下例： 。 Jordan 形式定理表明任一 階矩陣 必可表示為 Jordan 典型形式 (或稱 Jordan … Continue reading →

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Jordan 形式大解讀之尋找廣義特徵向量

Posted on 02/14/2011 by ccjou

本文的閱讀等級：高級 令 為一 階矩陣。我們曾經在“Jordan 形式大解讀(下)”發展了一個 Jordan 形式演算法，得到 Jordan 矩陣 與可逆矩陣 並使 ，簡述於下： 求出 的所有相異特徵值 ，，特徵值 的代數重數 ，以及幾何重數 。 針對每一相異特徵值 ，找出 階超級 Jordan 分塊 ，它包含 個基本 Jordan 分塊，所有的 的直和即為 Jordan 矩陣 。 對於 的每個相異特徵值 ，根據步驟 (2) 得到的超級 Jordan 分塊 ，解出對應各基本 Jordan … Continue reading →

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Jordan 形式大解讀 (下)

Posted on 11/17/2010 by ccjou

本文的閱讀等級：高級 前文“Jordan 形式大解讀(上)”說明了 Jordan 矩陣 蘊含的矩陣特徵訊息，本文將利用這些結果設計一個 Jordan 典型形式計算法。考慮以下問題：給定一 階矩陣 ，試求一 階可逆矩陣 使得 ，其中 為 Jordan 矩陣。我們假設已經得知 的所有相異特徵值 ，，但各個特徵值的相重數可以是未知的。下面介紹的演算法分為兩階段：先解出 Jordan 矩陣 ，再推算相似變換矩陣 。

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拒絕行列式的特徵分析

Posted on 05/26/2010 by ccjou

本文的閱讀等級：高級 美國詩人佛洛斯特 (Robert Frost) 最常被吟誦的一首詩大概是〈未擇之路〉(The road not taken)。這首詩意境優美，淺白詩句底下蘊含人生省思，全詩分四段，這是第一段[1]： Two roads diverged in a yellow wood, And sorry I could not travel both And be one traveler, long I stood And looked down one as far as I could To where … Continue reading →

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Jordan 典型形式淺說 (下)

Posted on 07/17/2009 by ccjou

本文的閱讀等級：中級 本文利用一個例子說明 階矩陣 的 Jordan 典型形式的存在性。我們從相反方向開始討論，考慮下面的 Jordan 矩陣 。 Jordan 矩陣 的特徵值 的重數為 ，但僅有一特徵向量 ，對應 分塊 。另外， 有重複 次的特徵值 和 個獨立特徵向量 ，，分別對應 分塊 和 分塊 。

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