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循環向量定理

本文的閱讀等級:高級 令 為一個 階矩陣。對於 維向量 ,如果向量集 構成 的一組基底,則 稱為 的一個循環向量 (cyclic vector)。任一方陣 未必總是存在循環向量,譬如,單位矩陣 ,因為對於所有 ,。本文證明循環向量定理,包含下列等價陳述: 有一個循環向量。 相似於一個相伴矩陣 (companion matrix)。 的最小多項式即為其特徵多項式。 若 和 是可交換矩陣,,則 是由 形成的矩陣多項式,即 , 是一個多項式。 Advertisements

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不變子空間──解構線性算子的利器

本文的閱讀等級:中級 設 是一個從向量空間 映至向量空間 的線性變換。若 ,我們稱 為定義於向量空間 的線性算子 (linear operator)。數學家發展出一個研究線性算子的方法,他們想像向量空間 可以分割成一組不交集的子空間 ,精確地說, 為這些不交集子空間的直和 (direct sum,見“補子空間與直和”): 。 對於任一 ,僅有唯一的 ,,能夠組合出 。為簡約符號,我們以 代表向量 經過 映射後得到的像 。利用線性變換的基本性質,可得 。 上式提示我們一個探索線性算子 的途徑:只要分別探討 在各個子空間 的行為即可對 的行為獲得完整的認識。實際的操作方式是令線性算子 限定於子空間 上,稱為限定算子 (restriction),記為 。限定算子成立的前提是任一 ,都有 ,即 ,滿足此性質的子空間 稱為 的不變子空間 (invariant … Continue reading

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