Tag Archives: 循環子空間

本文的閱讀等級：高級 令 為一個 階矩陣。若多項式 滿足 ，則 稱為 的一個消滅多項式。我們最常見的消滅多項式就是特徵多項式 ，此即 Cayley-Hamilton 定理 (見“Cayley-Hamilton 定理”)。最小多項式 是另一個特別的消滅多項式，它是 的所有消滅多項式中次數最小者。如果設定多項式的領先係數為 ，稱為首一多項式，則 有唯一的最小多項式。本文介紹三種最小多項式的計算方法：第一個方法來自定義；第二個方法計算 Jordan 形式的最大 Jordan 分塊階數；第三個方法基於循環子空間。為相互參照，我用下例解說這三種方法的計算過程： 。

本文的閱讀等級：中級 設 是一個從向量空間 映至向量空間 的線性變換。若 ，我們稱 為定義於向量空間 的線性算子 (linear operator)。數學家發展出一個研究線性算子的方法，他們想像向量空間 可以分割成一組不交集的子空間 ，精確地說， 為這些不交集子空間的直和 (direct sum，見“補子空間與直和”)： 。 對於任一 ，僅有唯一的 ，，能夠組合出 。為簡約符號，我們以 代表向量 經過 映射後得到的像 。利用線性變換的基本性質，可得 。 上式提示我們一個探索線性算子 的途徑：只要分別探討 在各個子空間 的行為即可對 的行為獲得完整的認識。實際的操作方式是令線性算子 限定於子空間 上，稱為限定算子 (restriction)，記為 。限定算子成立的前提是任一 ，都有 ，即 ，滿足此性質的子空間 稱為 的不變子空間 (invariant … Continue reading →