Tag Archives: 微分方程

利用多項式分解向量空間──兼論齊次線性微分方程解法

本文的閱讀等級:中級 考慮齊次線性微分方程 , 其中 是微分算子, 皆為常係數。令 。 以 取代 ,可得 。從線性代數觀點,求解齊次線性微分方程 等同於計算線性算子 的核 (kernel) 或零空間 (見“從線性代數看微分方程”)。本文解釋如何利用多項式來分解向量空間,藉此並可建立齊次線性微分方程解法的理論基礎。 Advertisements

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特徵向量是甚麽物,恁麽來?

本文的閱讀等級:初級 《南嶽懷讓禪師傳》記載: 祖問:「甚麽處來?」 曰:「嵩山來。」 祖曰:「甚麽物,恁麽來?」師無語,經八載忽然有悟,乃白祖曰:「某甲有個會處。」 祖曰:「作麽生?」 師曰:「説似一物即不中。」 唐代懷讓禪師為尋訪善知識跑去嵩山謁見惠安國師,惠安指點他參訪曹溪六祖。禮拜畢,六祖問:「你從何處來?」懷讓回:「我從嵩山來。」六祖又問:「你是甚麼東西?怎麼來的?」懷讓當下無言以對,經過八年參究,一天豁然開悟,便對六祖說:「我想通了。」六祖問:「怎麼樣?」懷讓回:「說是甚麼東西都不對。」   特徵向量甚麽處來?問既一般,答亦相似,翻開課本就可以找到答案,定義有兩種版本。 線性變換版:令 為一個向量空間, 是一個線性變換。若非零向量 滿足 ,則 稱為對應特徵值 的特徵向量。 矩陣版:令 為一個 階矩陣。若非零向量 滿足 ,則 稱為對應特徵值 的特徵向量。 若繼續追問:特徵向量是甚麽物,恁麽來?「説似一物即不中」提點我們不要死執一法 (定義),所以何妨「說似多物」,即便亂槍打鳥不中或許亦不遠矣。

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線性微分方程的穩定性

本文的閱讀等級:中級 在許多物理、工程和經濟學問題,我們常關注動態系統在均衡狀態 (equilibrium state) 附近的行為。如果一系統受到小干擾後最終會返回均衡狀態,便稱此系統是漸近穩定 (asymptotically stable,以下簡稱穩定),否則稱為不穩定。設向量 表示系統於時間 所處的狀態。對於一般動態系統,我們可以用線性微分方程 近似描述系統在均衡狀態 附近的行為,其中 是一 階常數矩陣, 是由擾動所決定的初始狀態。本文推導穩定線性系統的充分與必要條件,即當 ,線性微分方程解 的所有元趨於零的條件。

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廣義特徵值問題

本文的閱讀等級:高級 對於 階矩陣 ,一般特徵值問題欲解出 ,其中 是 的特徵值, 是對應的特徵向量。在一些工程和統計問題中,譬如,自由振動系統,譜聚類分析 (spectral clustering)[1],我們面對的是廣義特徵值 (generalized eigenvalue) 問題:,其中 和 是兩個 階 Hermitian 矩陣 (或實對稱矩陣), 稱為 和 的廣義特徵值, 是對應的廣義特徵向量[2]。在多數的應用場合, 是一正定矩陣。本文將推導自由振動系統的動態方程 (譜聚類分析較為複雜,他日另文介紹),證明優化廣義 Rayleigh 商 (quotient) 等價於廣義特徵值問題,並討論廣義特徵值與廣義特徵向量的性質與算法。

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線性微分方程解的存在性與唯一性

本文的閱讀等級:中級 考慮一物理系統,在任意時間 ,該系統的狀態完全由 個函數 描述。在任意時間 ,假設這些函數的變化率由它們的函數值所決定,表示如下: , 並給定初始條件 ,。如果數組 滿足 , 我們稱系統處在均衡狀態 (equilibrium state)。除非受到外力干擾,否則系統不會離開均衡狀態。我們對於均衡狀態附近的系統行為特別感興趣,精確地說,我們想瞭解系統在微小擾動下是否具備穩定性。若系統受到擾動後最終可以返回均衡狀態,便稱此系統是穩定的,否則稱為不穩定。為了探討這個問題,設定 , 其中 是微小擾動量。將上式代入前面的微分式,寫出泰勒展開式, 當 ,,令 。如果忽略高階項,物理系統在均衡狀態 附近的行為可以用下列線性微分方程近似: , 或表示為矩陣形式 。 令 是一 維向量且 是一 階矩陣。定義 ,可得簡明的向量微分方程式 。 我們研習常微分方程的一個強烈動機即在解出 ,,以確定系統的漸近行為 (當 )。本文採用矩陣分析證明線性微分方程解的存在性與唯一性,給出齊次常微分方程的解並定義矩陣指數,最後討論矩陣微分方程解的可逆性 (線性代數與微分方程的一般關聯性討論請見“從線性代數看微分方程”)。

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自由振動系統的特徵值與特徵向量

本文的閱讀等級:中級 公元1940年7月1日美國華盛頓州的塔科馬海峽懸索橋 (Tacoma Narrows Bridge) 正式啟用通車。不到數星期,橋面便開始上下擺動,其後擺動幅度不斷增加,工程人員嘗試加建纜索與液壓緩衝裝置企圖減低波動,但均未見成效。啟用四個月後,同年11月7日上午,橋身扭動愈發劇烈,最後橋面於數分鐘內陸續坍塌[1](見圖一,YouTube影片紀錄坍塌實況)。   塔科馬海峽懸索橋坍塌的原因為其橋面厚度不足,在受到強風的吹襲下引起卡門渦街 (Kármán vortex street),使橋身不斷晃動。當卡門渦街的振動頻率和吊橋自身的固有頻率 (即自由振動時的頻率,亦稱自然頻率) 相同時,遂引起橋身共振終至崩塌。所謂共振是指在特定頻率下,一物理系統以最大振幅振動,此特定頻率即稱為共振頻率。當阻尼 (damping) 很小時,共振頻率大約等於系統固有頻率。(台北101大樓擁有全球最大的抗風阻尼器,見 “如何幫大樓抗風防震?淺談台北101大樓阻尼器”。) 下面是維基百科關於卡門渦街的介紹以及塔科馬海峽懸索橋坍塌的解釋[2]: 在流體中安置阻流體,在特定條件下會出現不穩定的邊界層分離,阻流體下游的兩側會產生兩道非對稱地排列的旋渦,其中一側的旋渦循時針方向轉動,另一旋渦則反方向旋轉,這兩排旋渦相互交錯排列,各個旋渦和對面兩個旋渦的中間點對齊,如街道兩邊的街燈般 (見維基百科),這種現象因匈牙利裔美國空氣動力學家馮•卡門 (Theodore von Kármán,1881-1963) 最先從理論上闡明而得名卡門渦街。 卡門渦街可能引起建築物倒塌。…塔科馬海峽吊橋倒塌後第二天,華盛頓州州長宣布該座吊橋的設計牢靠,計劃按同樣設計重建。馮•卡門覺得此事不妥,便覓來一個塔科馬海峽吊橋模型帶回家中,放在書桌上,開動電扇吹風,模型開始振動起來,當振動頻率達到模型的固有頻時,發生共振,模型振動劇烈。果然不出所料,塔科馬海峽吊橋倒塌事件的元兇,正是卡門渦街引起橋樑共振。其後馮•卡門令助手在加州理工學院風洞內,進一步測試塔科馬海峽吊橋模型,取得數據,然後發一份電報給華盛頓州州長:「如果按舊設計重建一座新橋,那座新橋會一模一樣的倒塌」。州長設立一個塔科馬海峽吊橋倒塌事件考察小組,馮•卡門系成員之一。經一番爭論,馮•卡門終於說服當時不懂空氣動力學知識的橋樑設計師,在建新橋之前,先將橋樑模型進行風洞測試。會議決定採用新的設計避免卡門渦街對橋樑引起的禍害。   本文介紹自由振動系統的特徵值與特徵向量,目的在顯現其物理涵義:在多自由度的自由振動系統中,固有頻率由系統的特徵值決定,而振型 (mode shape) 則由對應的特徵向量決定。

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解讀複特徵值

本文的閱讀等級:初級 令 為一 階實矩陣。若 的特徵值為複數,矩陣 所代表的線性變換有何作為?如果 是常微分方程的係數矩陣,微分方程 的解又有甚麼特性?複特徵值常出現在一些科學和工程應用中,通過探討此問題可以聯繫線性代數和微分方程之間的關係。

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從不變子空間切入特徵值問題

本文的閱讀等級:初級 對首次接觸特徵分析的學者來說, 像是從天上掉下來的禮物。表面上,人人面露喜悅之情欣然接受;私底下,個個心中不免納悶:「這個神奇的式子究竟是怎麼冒出來的?」教書多年,我當然清楚學生的疑惑,參考了各家說法之後,決定採用一個省時省力的問題導入方式。每回開始講解特徵分析前,我會先介紹一階常微分方程 ,並說明解為 ,其中 是純量。緊接著延伸至高階微分方程,寫出對應的矩陣表達式: 。 從一階微分方程的解,我們猜想解向量的形式為 ,將它代回微分方程式,可得 。 等號兩邊消去 就得到 。我的原意是告訴大家:「你看多奇妙啊,微分方程轉換成特徵方程了。」不過這套論述難脫倒果為因之譏,一不小心可能會誤導學生以為特徵分析的原始動機只是為了解微分方程。

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線性代數在數值分析的應用 (一):兩點邊值問題

本文的閱讀等級:初級 數值分析 (numerical analysis) 是一門研究連續數學問題演算法的科目,內容包羅萬象,如解非線性方程、解線性或非線性聯立方程組、插值 (interpolation) 與曲線配適 (curve fitting)、數值微分與積分、常微分方程與偏微分方程的數值解、邊值 (boundary-value) 與特徵值 (characteristic-value) 問題等。線性代數和數值分析有極密切的關係,一方面數值分析涵蓋一些數值線性代數問題,另一方面數值分析的部分演算法建立於線性代數之上。本文介紹線性代數在數值分析中的一個簡單應用──將兩點邊值 (two-point boundary-value) 問題轉換為線性聯立方程組的求解問題。

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利用行列式判斷線性獨立函數

本文的閱讀等級:初級 設想我們解出一道齊次常係數微分方程,解具有以下形式: 。 一般解為 , 和 的線性組合,這三個函數提供了齊次微分方程解空間的基底,也稱為解基。既然這些函數構成一組基底,它們就必須是線性獨立的,但要如何判斷呢?讓線性代數來回答這個問題。

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