Tag Archives: 微分方程

利用逆矩陣積分

本文的閱讀等級:中級 在“從幾何向量空間到函數空間”一文,我說明了函數空間可視為廣義的向量空間;函數的線性運算,例如微分算子,其實就是定義於向量空間裡的線性變換,而積分則是微分算子的逆變換。只要建立適當的基底,線性變換總是能夠以矩陣乘法運算表示,這暗示以逆矩陣實現積分運算的可能性。 Advertisements

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從線性代數看微分方程

本文的閱讀等級:中級 大學理工科系經常將微分方程和線性代數分為兩門獨立課程講授,表面上兩者處理的問題對象不同,使用的分析運算技巧也相異,在這種認知下,我們很自然會將微分方程和線性代數看成平行進展的數學領域。抱持懷疑態度的學生可能發現兩者間存在一些概念和形式交集,例如,微分方程與線性代數都有特徵方程式 (characteristic equation) 一詞,難免心中納悶:究竟微分方程和線性代數有什麼關係?對多數人來說,這並不是一個顯而易見的問題,我也不認為可以三言兩語就說清楚。以下我選擇幾個重要的線性代數主題──線性函數、零空間、特徵值和特徵向量,以及齊次和非齊次方程,從這些角度檢視微分方程與線性代數的關連。開始之前,如果讀者還不能接受函數也是向量這個觀念,請先閱讀“從幾何向量空間到函數空間”。

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利用 Jordan form 解差分方程與微分方程

本文的閱讀等級:中級 若 階矩陣 是可對角化的,則 可分解為 ,其中特徵向量矩陣 的行向量由 的特徵向量組成,特徵值矩陣 為對角矩陣,其主對角元即為特徵值。在此情況下,很容易計算冪矩陣 和矩陣指數 (請參考“矩陣指數”): 對角矩陣 的冪矩陣和矩陣指數分別具有以下的簡單形式:

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