Tag Archives: 投影矩陣

本文的閱讀等級：中級 令 階實矩陣 有線性獨立的行向量 (column vector)。如何求得 階正交投影矩陣 ，其值域為 的行空間？   線代箴言：「工欲善其事，必先利其器。」我們先討論正交投影矩陣的性質。這裡面包含兩個子問題：一般的投影矩陣有甚麼性質？加入正交條件後，又多了甚麼性質？投影矩陣 將 維向量 映射至 ，其中 是 的值域 (行空間)，而且 經 的再次投影恆定不變 (投影兩次等於投影一次)，即 。 因為 是任意向量，可知 ，稱為冪等矩陣 (idempotent matrix)。若 是一正交投影矩陣，投影後的殘量 必定正交於投影子空間 ，其中成員可表示為 (這裡 是一 維向量)，於是有 。 因為 和 是任意向量，可知 。但 是對稱矩陣，故 。

本文的閱讀等級：中級 具有內積功能的向量空間簡稱為內積空間，線性代數中許多重要理論和應用都從內積空間衍生出來，例如基底正交化，QR 分解，最小平方法，矩陣譜定理，甚至奇異值分解 (singular value decomposition) 也和內積空間密切相關。在內積空間中，最重要的運算除了內積本身，另一個威力強大的代數工具就是將任意向量分解為正交分量之和的正交投影 (orthogonal projection)。本文介紹兩個推導正交投影矩陣方法，第一個是歸納法，從一道簡單的幾何問題開始──將向量投影至一直線，繼續推廣可導出至一般子空間的正交投影。這個方法較具幾何直觀，適宜初學者學習。另一個方法是將正交性質加入向量空間的斜投影，再利用矩陣代數推導正交投影矩陣。本文內容限定實幾何向量空間 ，如欲延伸至 ，僅需將轉置 改為共軛轉置 。