Tag Archives: 投影矩陣

每週問題 November 23, 2015

證明實正交投影矩陣的主對角元性質。 Let be an real orthogonal projection matrix, i.e., . Show that for all , and . Advertisements

Posted in pow 內積空間, 每週問題 | Tagged , , , | 5 Comments

線代膠囊──正交投影矩陣

本文的閱讀等級:中級 令 階實矩陣 有線性獨立的行向量 (column vector)。如何求得 階正交投影矩陣 ,其值域為 的行空間?   線代箴言:「工欲善其事,必先利其器。」我們先討論正交投影矩陣的性質。這裡面包含兩個子問題:一般的投影矩陣有甚麼性質?加入正交條件後,又多了甚麼性質?投影矩陣 將 維向量 映射至 ,其中 是 的值域 (行空間),而且 經 的再次投影恆定不變 (投影兩次等於投影一次),即 。 因為 是任意向量,可知 ,稱為冪等矩陣 (idempotent matrix)。若 是一正交投影矩陣,投影後的殘量 必定正交於投影子空間 ,其中成員可表示為 (這裡 是一 維向量),於是有 。 因為 和 是任意向量,可知 。但 是對稱矩陣,故 。

Posted in 線性代數專欄, 內積空間 | Tagged , , , , | Leave a comment

每週問題 March 4, 2013

這是關於實正交投影矩陣的界定問題。 Let be an real matrix. If , show that is an orthogonal projection matrix, i.e., for every and for every . Note that denotes the column space of .

Posted in pow 內積空間, 每週問題 | Tagged , | Leave a comment

正交投影矩陣的性質與界定

本文的閱讀等級:高級 正交投影是一個威力強大的變換工具,它最主要的用途在於有效地分解向量空間。我們曾經在“正交投影──威力強大的線代工具”介紹正交投影矩陣的計算方法,並且利用正交投影解決了最小平方近似問題 (見“從線性變換解釋最小平方近似”)。本文欲進一步探討正交投影矩陣的性質和界定條件,並討論兩個正交子空間的正交投影矩陣關係。

Posted in 線性代數專欄, 內積空間 | Tagged , , , , , | Leave a comment

仿射投影

本文的閱讀等級:中級 令 為一個有限維內積空間。考慮 的平移變換 , 其中 是一個非零向量。平移變換 並非線性變換,而是一個仿射變換 (見“仿射變換”)。設 為 的一個子空間, 自原點平移 後所構成的集合稱為仿射空間 (affine space),表示為 。 除非 ,否則 不包含零向量,因此 不是 的子空間。雖然如此,在仿射空間中仍可以實現正交投影,這篇短文解說如何將一般子空間投影轉換至仿射空間投影,另外並介紹一個基於最佳化理論的計算方法。(本文源於網友 Liang Dai 留言,以下的例子也是由他所提供。)

Posted in 線性代數專欄, 仿射幾何 | Tagged , , , , , | 4 Comments

每週問題 January 17, 2011

本週問題是證明對於任意方陣 ,必存在一可逆矩陣 使得 為投影矩陣。 Pow-Jan-17-11 參考解答 PowSol-Jan-17-11

Posted in pow 向量空間, 每週問題 | Tagged | 2 Comments

基本矩陣的幾何意義

本文的閱讀等級:中級 假設 與 為幾何向量空間 的兩個向量。請注意,以下向量皆為行向量 (column vector)。若 ,我們稱 為基本矩陣或初等矩陣 (elementary matrix),其中 是單位矩陣, 是秩─1 (rank-one) 矩陣。基本矩陣的名稱源於係每一個基本列運算 (elementary row operation) 都有一個對應的基本矩陣 (見“特殊矩陣(10):基本矩陣”)。基本矩陣是可逆的,其逆矩陣也是基本矩陣,如下: 。 本文推導基本矩陣的行列式公式、特徵值與特徵向量,並解釋基本矩陣的幾何意義。

Posted in 線性變換, 線性代數專欄 | Tagged , , , , | 2 Comments

正交投影──威力強大的線代工具

本文的閱讀等級:中級 具有內積功能的向量空間簡稱為內積空間,線性代數中許多重要理論和應用都從內積空間衍生出來,例如基底正交化,QR 分解,最小平方法,矩陣譜定理,甚至奇異值分解 (singular value decomposition) 也和內積空間密切相關。在內積空間中,最重要的運算除了內積本身,另一個威力強大的代數工具就是將任意向量分解為正交分量之和的正交投影 (orthogonal projection)。本文介紹兩個推導正交投影矩陣方法,第一個是歸納法,從一道簡單的幾何問題開始──將向量投影至一直線,繼續推廣可導出至一般子空間的正交投影。這個方法較具幾何直觀,適宜初學者學習。另一個方法是將正交性質加入向量空間的斜投影,再利用矩陣代數推導正交投影矩陣。本文內容限定實幾何向量空間 ,如欲延伸至 ,僅需將轉置 改為共軛轉置 。

Posted in 線性代數專欄, 內積空間 | Tagged , , , , , , , , | 17 Comments

從線性變換解釋最小平方近似

本文的閱讀等級:初級 在整個線性代數領域,移動向量空間的線性變換以不同面貌貫穿許多重要的主題。線性代數初學者經常將線性變換侷限於單純的幾何變換,例如,旋轉、拉伸、鏡射等,實際情況是線性變換幾乎無所不在,線性變換就隱藏在矩陣向量的乘法運算。直白地說,矩陣向量乘法是線性變換的具體實現,而線性變換則是矩陣向量乘法的情境描述。下面我從線性變換觀點解釋最小平方近似問題的解決過程與意義,透過線性變換觀點不但可使原本抽象的內容變成容易理解的敘事情境,線性變換的映射機制也為線性代數理論與其應用搭建一座橋樑。

Posted in 線性代數專欄, 內積空間 | Tagged , , , , , , , | 13 Comments

每週問題 October 12, 2009

本週問題是關於交互乘積 與  的一些基本性質。 點選問題↓ Pow-Oct-12-09 參考解答↓ PowSol-Oct-12-09

Posted in pow 內積空間, 每週問題 | Tagged , , | Leave a comment