Tag Archives: 投影

可對角化矩陣的譜分解

本文的閱讀等級:中級 在矩陣分析中,對角化 (diagonalization) 是一個非常重要的概念與工具。如果 階矩陣 相似於一個對角矩陣,我們稱 是可對角化矩陣 (diagonalizable matrix),具體地說,存在一個同階可逆矩陣 使得 為對角矩陣,意味矩陣 可分解為 。矩陣的對角化與特徵分析有密切的關係,對角矩陣 的主對角元 為 的特徵值,而對角化的變換矩陣 的行向量 (column vector) 為對應特徵值 的特徵向量,。可對角化矩陣的直觀解釋是如果以特徵向量 當作基底,則參考這組基底的線性變換表示矩陣,即特徵值矩陣 ,具有最簡約的主對角形式。本文介紹可對角化矩陣的另一個分解表達式,稱為譜分解 (spectral decomposition) 或譜定理,它的特點是能夠表現更豐富的幾何意義,同時也具備簡化可對角化矩陣函數計算的功用 (見“矩陣函數 (上)”)。 Advertisements

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正交投影──威力強大的線代工具

本文的閱讀等級:中級 具有內積功能的向量空間簡稱為內積空間,線性代數中許多重要理論和應用都從內積空間衍生出來,例如基底正交化,QR 分解,最小平方法,矩陣譜定理,甚至奇異值分解 (singular value decomposition) 也和內積空間密切相關。在內積空間中,最重要的運算除了內積本身,另一個威力強大的代數工具就是將任意向量分解為正交分量之和的正交投影 (orthogonal projection)。本文介紹兩個推導正交投影矩陣方法,第一個是歸納法,從一道簡單的幾何問題開始──將向量投影至一直線,繼續推廣可導出至一般子空間的正交投影。這個方法較具幾何直觀,適宜初學者學習。另一個方法是將正交性質加入向量空間的斜投影,再利用矩陣代數推導正交投影矩陣。本文內容限定實幾何向量空間 ,如欲延伸至 ,僅需將轉置 改為共軛轉置 。

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直和與投影

本文的閱讀等級:中級 設向量空間 為子空間 與其補空間 的直和,記為 。對於任意向量 ,直和的意義是僅存在唯一方式分解 為 -成分與 -成分之和。“補子空間與直和”曾舉一例,,其中 為一平面, 為平面外的一直線。對於三維空間中的任意向量 ,我們可以想像 就是將向量 沿著與 平行的直線投影至平面 ,見下圖。注意,直線 上的向量至平面 的投影量為零。

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Cauchy-Binet 公式

本文的閱讀等級:中級 Cauchy-Binet 公式是方陣乘積行列式可乘公式 的推廣。在線性代數理論中,Cauchy-Binet 公式是一個相當實用的行列式計算公式,但多數線性代數課程並未將它列入講授範圍。理解 Cauchy-Binet 公式除了要知道行列式基本性質,還需要一些新的符號與概念。

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每週問題 November 2, 2009

這是關於 Gram-Schmidt 正交化,QR 分解,以及求正交投影矩陣的基本問題。 點選問題↓ Pow-Nov-2-09 參考解答↓ PowSol-Nov-2-09

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