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賦範向量空間

本文的閱讀等級:中級 向量空間是一種代數結構,其中定義兩個運算:向量加法與純量乘法。令 為向量空間 的一組基底,意指 是一個線性獨立集,且每一個向量 可表示為 的線性組合 (見“基底與維數常見問答集”)。若基底是一個有限集,則 稱為有限維向量空間,否則稱為無限維向量空間。有限維向量空間比無限維向量空間容易分析,但有限維向量空間的概念與定理未必適用無限維向量空間。用一個例子說明。令 代表實序列 ,或記為 ,形成的無限維向量空間 (見“向量空間與實例”)。實序列空間 似乎是有限維向量空間 的直接推廣,實則不然。在 ,兩個序列 與 的加法定義為 ,純量 與序列 的乘法定義為 。套用有限維向量空間 的向量構造方式, , 其中 的第 元為 ,其餘元為 。表面上, 是所有 的「無限線性組合」構成的集合,但在一般情況下無窮多個向量之和未必是有意義的,譬如, 並不是一個收斂序列。如何才能使無窮多個向量之和具有意義呢?數學家想出一個方法:考慮無限多個向量 的部分和,,,並期待向量序列 收斂至某個向量 ,也就是說隨著 增大,序列 越來越接近 。要討論一個向量序列是否收斂的前提是我們須測量 與 之間的「距離」,或者說 … Continue reading

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