Tag Archives: 排列矩陣

秩分解──目視行秩等於列秩

本文的閱讀等級:初級 矩陣的行空間的維數稱為行秩 (column rank),列空間的維數稱為列秩 (row rank)。子空間的維數由最大的線性獨立的向量數決定,“行秩=列秩”一文曾基於此性質通過操作矩陣乘法運算證明了矩陣的行秩等於列秩。證明歸證明,讀者心中可能依然困惑:「矩陣的線性獨立行向量數怎麼會恰好等於線性獨立的列向量數呢?」本文再提供一個論證,想法很簡單:利用高斯消去法挑選出矩陣的線性獨立行與列,並以一個特殊分解式呈現獨立行與獨立列。這個證明屬計算導向,雖未直接表達行秩等於列秩的幾何特性,但由所得的矩陣分解式我們可以「目視」原矩陣的行空間和列空間,兩者確實擁有相等的基底向量數。

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簡約列梯形式的唯一性

本文的閱讀等級:中級 高斯─約當法 (Gauss-Jordan method) 是線性代數中最常使用的演算法之一 (見“高斯─約當法”),它的功用是將給定矩陣 化為同階的簡約列梯形式 (reduced row echelon form),記為 。透過簡約列梯形式,不但可以解出線性方程組還能回答許多有關矩陣的基本問題,如矩陣秩、列空間基底、行空間基底以及零空間基底 (見“矩陣的四個基本子空間基底算法”)。從高斯—約當法的演算過程,我們憑直覺推斷 的簡約列梯形式是唯一的 (否則不會將之命名為 ),於是理所當然地將它視為事實。本文介紹一個運用排列矩陣與分塊矩陣的代數證明方法,透徹瞭解這整個論證過程對提昇邏輯推理能力有很大的幫助。

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排列上三角矩陣的主對角元

本文的閱讀等級:中級 下面這則問題取自 2009 年台大電機工程研究所碩士班入學試題: Let be a linear operator from to itself and . Let denote the null space of . Prove that for every basis of with respect to which has an upper-triangular matrix, appears on the diagonal of … Continue reading

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矩陣與其轉置的相似性

本文的閱讀等級:中級 令 為一個 階實或複矩陣。轉置矩陣 與 共享許多性質。因為任一 階矩陣的行秩等於列秩 (見“行秩=列秩”),即行空間的維數等於列空間的維數,立知 。再者, 與 有相同的行列式值, (見“行列式的運算公式與性質”)。使用行列式性質, 與 有相同特徵多項式,,故 與 有相同的特徵值 (見“每週問題 July 6, 2009”)。

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矩陣視覺化

本文的閱讀等級:初級 矩陣通常以其儲存的數字陣列形式呈現,除非是天賦異稟的奇才,一般人很難洞察大尺寸矩陣的內部構造。矩陣視覺化是指利用色彩表示元的數值,雖然並不十分精確,但適合觀察矩陣的分塊結構,具有「見林不見樹」的效果。

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