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實對稱矩陣特徵值和特徵向量的探索解法

本文的閱讀等級:初級 實對稱矩陣是當今應用最廣的一種特殊矩陣,一方面因為實對稱矩陣「天生」就出現在許多場合 (見“Hermitian 矩陣與實對稱矩陣的一些實例”),另一方面因為它具備一些良好的性質,包括特徵值為實數,而且不論特徵值是否相重,存在完整的單範正交 (orthonormal) 特徵向量集,也就是說,實對稱矩陣可正交對角化 (見“實對稱矩陣可正交對角化的證明”)。本文介紹求解實對稱矩陣特徵值和特徵向量的探索法。這裡所指的探索法包含幾個常用的技巧:(1) 尋找矩陣的特別模式;(2) 觀察出特徵值和特徵向量 (見“肉眼判讀特徵向量”);(3) 選擇有效的變數;(4) 利用對稱性 (泛指一般對稱性);(5) 利用特徵值性質及特徵向量的正交性。為甚麼要特別指定實對稱矩陣?因為實對稱矩陣有完全正交的特徵向量集,這個限制可大大增強探索法的威力。下面選取的例子都具有簡單的形式,甚或包含許多零元,目的在彰顯解決實對稱矩陣特徵分析問題的重要技巧,讀者可以從中歸納出應付其他情況的有效策略。不過,探索法所能解決的問題種類有限,當矩陣尺寸增大或不具備特殊模式時,我們仍須仰賴數值方法。此外,請讀者不要將本文介紹的探索法當作唯一的好方法。在討論之前,我引用拉森 (Loren C. Larson) 的一段話[1]: 一個問題,通常可有幾種解法,並且常有一些明顯不同的探索法。所以不要以「先入為主」之見處理每個問題,更不要帶有某個問題只能用某一種特殊的探索法來求解的框框。提出一個問題時,關鍵是把它解出來。正是用一切方法去解題而累積了經驗,才使人們得到可能解題成功的高度洞察力。 Advertisements

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Hadamard 不等式

本文的閱讀等級:中級 匈牙利數理哲學家拉卡托斯 (Imre Lakatos, 1922-1974) 主張數學研習應以一種探索和發現的情境邏輯推展,稱為啟發法或助探論 (heuristic)。他強調非形式、準經驗的數學的發展並不是只靠逐步增加毋庸置疑的定理數目,而是靠以思辨與批評、證明與反駁之邏輯對最初猜想的持續不斷的改進 (見“線性代數的演繹主義”)。具體來說,啟發法常從簡單的特例展開,透過提出猜想,設立命題,證明或反駁,從而發現定理並建構理論。本文按照這個探索模式介紹矩陣理論中一個重要的不等式──Hadamard 不等式。

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