Tag Archives: 數值分析

線性代數在數值分析的應用 (二):Dirichlet 問題

本文的閱讀等級:中級 在物理學中,等方向均勻介質的一點的溫度變化由熱傳導方程 (heat equation) 所描述[1]: , 其中 是點 於時間 的溫度, 是一正數,稱為熱擴散率 (thermal diffusivity), 是 Laplace 算子 (或稱 Laplacian),定義如下: 。 淺白地說,Laplace 算子度量一點的函數值與其鄰近點的差異。若點 處於穩態,即該點溫度不隨時間改變,則 滿足 Laplace 方程 。如果二階連續可導函數 ( 為一開集) 滿足 Laplace 方程,我們稱之為調和函數 (harmonic function)。本文將探討簡化後的二維 Dirichlet 問題[2]:尋找一調和函數 ,使其在一正方形區域內所有點皆滿足 ,且邊界滿足給定條件 。 Advertisements

Posted in 線性代數專欄, 應用之道 | Tagged , , , , , , , | 3 Comments

線性代數在數值分析的應用 (一):兩點邊值問題

本文的閱讀等級:初級 數值分析 (numerical analysis) 是一門研究連續數學問題演算法的科目,內容包羅萬象,如解非線性方程、解線性或非線性聯立方程組、插值 (interpolation) 與曲線配適 (curve fitting)、數值微分與積分、常微分方程與偏微分方程的數值解、邊值 (boundary-value) 與特徵值 (characteristic-value) 問題等。線性代數和數值分析有極密切的關係,一方面數值分析涵蓋一些數值線性代數問題,另一方面數值分析的部分演算法建立於線性代數之上。本文介紹線性代數在數值分析中的一個簡單應用──將兩點邊值 (two-point boundary-value) 問題轉換為線性聯立方程組的求解問題。

Posted in 線性代數專欄, 應用之道 | Tagged , , , , | Leave a comment

特殊矩陣 (11):三對角矩陣

本文的閱讀等級:初級 如果 階方陣 除了主對角線元以及比主對角線低一列和高一列的對角線之外,其餘皆為零元,我們稱它為三對角 (tridiagonal) 矩陣,也就是說,當 ,;如下例, 三對角矩陣常出現於數值分析問題,本文僅介紹三對角矩陣的幾個基本性質,包括行列式計算、相似變換的應用以及求解線性方程。

Posted in 特殊矩陣, 線性代數專欄 | Tagged , , , , | 4 Comments