Tag Archives: 旋轉

三維空間的旋轉矩陣

本文的閱讀等級:中級 在二維平面上,逆時針方向旋轉 徑度 (弧度,radian) 的旋轉矩陣為 (見“幾何變換矩陣的設計”) 。 不難驗證 的特徵值為 和 ,其中 ,並具有下面兩個基本性質: 旋轉矩陣 的兩個行向量 (column vector) 和 組成一個單範正交集 (orthonormal set),也就是說, 是一個實正交矩陣 (orthogonal matrix),滿足 ,故逆旋轉矩陣為 。 對於任一實正交矩陣 ,,即得 。若 ,則 稱為適當的 (proper) 正交矩陣。計算 ,旋轉矩陣 是適當的正交矩陣。若 ,則 稱為不適當的正交矩陣,例如鏡射矩陣 (見“旋轉與鏡射”) 。 本文討論常見於電腦圖學 (computer … Continue reading

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四元數與三維空間旋轉

本文的閱讀等級:中級 愛爾蘭數學家哈密頓 (William Rowan Hamilton) 將複數 ,其中 是實數, 是虛數單位,延伸為四元數 (quaternion),即一個實數加上三個虛部, , 其中 是實數,虛數單位 滿足基本公式 。 任一複數 與單位複數 的乘積 可以解讀為點 在二維複數平面逆時針旋轉 徑度 (見“複數的矩陣表示”)。類似地,四元數亦可表示三維空間旋轉,不過這個性質不像複數蘊含平面旋轉那般明顯,因為實在難以想像處於 的四元數如何對 向量執行運算。

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複數的矩陣表示

本文的閱讀等級:初級 十八世紀末,複數已漸漸被時人所接受,1799年挪威─丹麥數學家韋塞爾 (Caspar Wessel) 提出複數可看作平面上的一點。數年後,高斯 (Carl Friedrich Gauss) 再提出此觀點並大力推廣,從此複數的研究開始快速發展[1]。複數數系是一個體 (域,field),我們用 表示複數體。簡單地說,一個體就是具有加法和乘法的數系 (見“有限體與模算術”),譬如,實數系 是一個最常見的體。高斯主張複數系 是二維平面 (稱為複數平面),並賦予一乘法運算。令實部單位 在複數平面的座標為 ,虛部單位 在複數平面的座標為 。任一複數 可唯一表示為 ,其中 和 是實數,也就是說,複數 可以視為實數 和 組成的有序對: 。 這裡我們要澄清一個觀念:向量空間 的維數 (dimension) 究竟是 還是 ?向量空間 的維數定義為 的基底的基數 (cardinal number),即基底向量的總數。複數系 既是一個複向量空間也是實向量空間[2], 的維數取決於構成向量空間的體,也就是說,,但 。不過,複向量空間 … Continue reading

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答perlpython──關於二階旋轉矩陣的對角化問題

網友perlpython留言: 老師,你好。我想請問一下,關於二維空間的旋轉矩陣。它在角度等於0度和180度時,分別會有eigenvalue = 1,-1,這是很直觀從圖形上就可以得到的結果。此外,當角度是其他度數時,很明顯eigenvalue是不存在的,在實數系上因而沒辦法對角化。然而,當討論的區域是複數系時,對於旋轉矩陣而言,它是有辦法對角化的嗎?因為我在課本上只讀到,複數系有機會對角化,只是我不知道從何下手去討論?或是有背後的理論知識,如果有專有名詞,懇請老師稍微點一下,謝謝,感激不盡。

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古典多維標度法 (MDS)

本文的閱讀等級:中級 下圖顯示一份手寫數字的樣本,其中每一數字以大小為 像素 (pixel) 的灰階圖片儲存。讀者不妨想像樣本所含的200張數字圖片對應於 空間的200個數據點。我們提出下面的問題:給定這份樣本資料,如何「目視」數據點於高維空間的散佈?主成分分析 (principal components analysis) 是當今最常採行的一種降維技術 (見“主成分分析”)。在保留數據集的最大變異前提下,將高維數據點正交投影至一個特定的二維空間,此空間由對應樣本共變異數矩陣的最大兩個特徵值的特徵向量擴張而成。如此一來,我們可在平面上觀察所有數據點的投影位置 (稱為主成分係數)。   不過,在某些應用場合,我們僅知道任兩數據點的相異性 (dissimilarity)。舉例來說,手寫數字包含許多變異,如位移、旋轉、伸縮與形變,直接計算兩數字圖片於同一像素位置的灰階差距並不能反映實際的型態差異,我們必須先把兩圖放在可供比較的基準上。為了降低上述變異造成的影響,在比對圖片之前,我們容許一圖 (或兩圖) 些微調整轉變 (見“最小平方法於圖形比對的應用”),並採用各種複雜的圖片相異性算法。因為這些緣故,主成分分析不適用於手寫數字圖片的降維。本文介紹一個建立於數據點的相異性的降維方法,稱為多維標度法 (multidimensional scaling,簡稱 MDS)。下圖顯示手寫數字集經多維標度法處理後得到的二維標度散佈圖。根據相異性的定義,多維標度法可區分為公制 (metric) 與非公制 (nonmetric),前者採用歐幾里得距離 (簡稱歐氏距離),後者則泛指任何非歐氏距離[1]。本文將介紹公制,也稱古典多維標度法,並解說古典多維標度法與主成分分析的關係。

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圓錐曲線

本文的閱讀等級:初級 任意二元二次方程式可表示為 , 其中 是實數且 不全為零 (否則二次方程退化為一次方程)。在卡氏座標系統中,二元二次方程的軌跡稱為圓錐曲線[1](conic section,也稱二次曲線)。本文介紹如何通過旋轉與平移,將任一圓錐曲線化簡至典型表達式。圓錐曲線共可區分為9種類別,根據典型表達式的推演結果,我們設計一組建立於行列式的判別式 (discriminant)。

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答兩面光──關於3×3階與4×4階齊次轉換矩陣的差異

網友兩面光留言: 周老師您好,我目前正在研究Lagrange運動方程式,對於轉換矩陣有些疑問。由於之前看的資料座標轉換並沒有平移的問題,且矩陣皆是,經查詢平移的座標轉換後,找到了所謂的齊次轉換矩陣,為的矩陣,也看到其他以做轉換矩陣的例子(但並非以Lagrange推導運動方程式),但我在您“線性變換表示矩陣”(註:應為“仿射變換”)中也看到了的平移轉換矩陣,我想請問在座標轉換中,與的差別在哪?

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Givens 旋轉於 QR 分解的應用

本文的閱讀等級:中級 給定 平面上的旋轉矩陣 , 向量 表示 在平面上逆時針旋轉 弧度。假設 ,考慮這個問題:如何旋轉向量 至正X軸方向?

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