Tag Archives: 最小多項式

可對角化的特殊矩陣

本文的閱讀等級:中級 令 為一個 階複矩陣,。若存在一個同階可逆矩陣 使得 為對角矩陣,其主對角元為 的特徵值,則 稱為可對角化 (diagonalizable), 稱為譜分解 (spectral decomposition,見“可對角化矩陣的譜分解”)。令 為 的相異特徵值組成的集合。下面列舉三個可對角化矩陣 的等價條件: 每一特徵值 的代數重數等於幾何重數 (見“可對角化矩陣與缺陷矩陣的判定”),即 (見“特徵值的代數重數與幾何重數”),這裡 表示矩陣 的零空間 (nullspace); 每一特徵值 的指標 (index) 等於 ,也就是說 的 Jordan 矩陣的每一個 Jordan 分塊的階數為 ,即純量 (見“Jordan 形式大解讀 (上)”); 最小多項式為 ,也就是說 (見“最小多項式 (下)”)。 … Continue reading

Posted in 特徵分析, 線性代數專欄 | Tagged , , , , , | Leave a comment

Krylov 子空間法──線性方程的數值解法 (一):Arnoldi 與 Lanczos 算法

本文的閱讀等級:高級 令 為一 階複矩陣, 為一非零向量。向量序列 稱為 Krylov 序列,此序列所生成的子空間稱為 Krylov 子空間 (見“Krylov 子空間法”),記為 。 因為 是有限維空間 的一個子空間,當 不斷增大時,Krylov 序列 最終會是一個線性相關集。設 為最小的正整數使得 ,也就是說 為一個線性獨立集且 。因此,存在唯一數組 滿足 。 定義 次多項式 。 因為 ,我們稱 為 相對於 的最小 (消滅) 多項式 (minimal polynomial)。以下考慮 為可逆矩陣。我們可以斷定 ,否則有 ,即存在次數小於 … Continue reading

Posted in 線性代數專欄, 數值線性代數 | Tagged , , , , , , , , | 3 Comments

可對角化矩陣的譜分解──續篇(下)

本文的閱讀等級:中級 我們曾經在“可對角化矩陣的譜分解──續篇(上)”證明譜定理 (spectrum theorem) 的反向命題:若 階矩陣 可表示為 , 其中 為相異數, 是非零矩陣並滿足 ,,以及 ,則 可對角化 (若未註明階數,以下 表示 階單位矩陣 )。本文介紹一個採用建構式的證明,我們的思路是從給定條件先推論 是冪等 (idempotent) 矩陣,從而導出 的對角化形式 ,其中 ,每一 ,表明 是 的特徵值, 是特徵向量矩陣。這個證明所使用的線性代數定理與分析方法包括分塊矩陣的保秩變換、秩─零度定理、可對角化矩陣的成立條件、秩分解 (rank decomposition),以及透過相似變換用跡數來計算秩。為便於閱讀,我將證明分成幾個步驟。(本文的證明由網友Meiyue Shao提供,原始文本請見“Spectral_decomposition”。)

Posted in 特徵分析, 線性代數專欄 | Tagged , , , | 5 Comments

Krylov 子空間法

本文的閱讀等級:中級 令 為一 階複矩陣, 為一 維非零向量。1931年,俄國應用數學家、海軍工程師克雷洛夫 (Aleksey Krylov) 提出一個創新的想法[1]:運用向量序列 ,稱為 Krylov 序列,計算 的特徵多項式。Krylov 序列的擴張稱為 Krylov 子空間 (或循環子空間),記為 。 明顯地, 是 的一個子空間,故必存在最小正整數 使得 可表示為 的線性組合。如果 , 定義 次多項式 。 因為 ,我們說 是 相對於 的消滅多項式 (annihilating polynomial)。運用類似最小多項式 (minimal polynomial) 的論證方式可證明 (見“最小多項式 (上)”):給定任何矩陣—向量對 … Continue reading

Posted in 特徵分析, 線性代數專欄 | Tagged , , , , , | 10 Comments

矩陣相似於其逆的充要條件

本文的閱讀等級:高級 任一 階矩陣 相似於 (見“矩陣與其轉置的相似性”)。若 是一個實正交矩陣 (orthogonal matrix),,則 相似於 。我們不免好奇: 相似於 的充分以及必要條件是甚麼?考慮極端的情況:兩個相等的方陣必定相似。若 ,即 ,我們稱之為對合 (involutory) 矩陣 (見“特殊矩陣 (22):對合矩陣”)。除了對合矩陣,是否還有其他的 相似於 ?二人同心,其利斷金。若 ,其中 和 是對合矩陣,則 , 即知 相似於 。兩個對合矩陣的乘積不僅是矩陣相似於其逆的充分條件,也是必要條件。反向論證較為複雜,本文運用兩種特殊型態矩陣──Jordan 分塊和相伴 (companion) 矩陣──證明:若 相似於 ,則存在對合矩陣 和 使得 。

Posted in 線性代數專欄, 典型形式 | Tagged , , , , , | 4 Comments

每週問題 December 2, 2013

若一矩陣的所有特徵值皆等於 ,則此矩陣相似於其逆矩陣。 Let be an matrix with characteristic polynomial . Show that is similar to its inverse.

Posted in pow 典型形式, 每週問題 | Tagged , , , | Leave a comment

特殊矩陣 (22):對合矩陣

本文的閱讀等級:中級 對合函數 (involution) 是逆函數等於自身的函數,也就是說,對合函數 的定義域中所有 滿足 。令 為一個定義於 或 的 階矩陣。若 ,即 ,則 稱為對合 (involutory) 矩陣。換句話說,對合矩陣是單位矩陣的所有平方根。常見的對合矩陣包括: 單位矩陣 和 反對角 (anti-diagonal) 排列矩陣 列交換矩陣,例如, 簽名 (signature ) 矩陣 Householder 矩陣 ,其中 (見“特殊矩陣 (4):Householder 矩陣”)。直接計算可驗證 下面我們介紹對合矩陣的構造法以及性質。

Posted in 特殊矩陣, 線性代數專欄 | Tagged , , , , , | 2 Comments

Jordan 分塊

本文的閱讀等級:中級 在線性代數中,所謂「相似家族」是指其中成員矩陣彼此具有相似關係。具體地說,若 和 同屬一個「相似家族」,即 相似於 ,則存在一可逆矩陣 使得 。相似是一種等價關係,相似變換下的不變性質包括:特徵多項式、最小多項式、特徵值、行列式、跡數、矩陣秩,以及 Jordan 典型形式 (見“相似變換下的不變性”)。Jordan 形式因創造人法國數學家約當 (Camille Jordan) 而得名。Jordan 分塊為一上三角矩陣,其中主對角元是相同常數,設為 ,主對角上標元 (superdiagonal) 都等於 ,其上的所有元為零,如下所示: 。 Jordan 矩陣是由 Jordan 分塊構成的分塊對角矩陣,或者說 Jordan 矩陣是 Jordan 分塊的直和 (direct sum),如下例: 。 Jordan 形式定理表明任一 階矩陣 必可表示為 Jordan 典型形式 (或稱 Jordan … Continue reading

Posted in 線性代數專欄, 典型形式 | Tagged , , , , , , , | Leave a comment

交換子與可交換矩陣

本文的閱讀等級:高級 我們知道矩陣乘法不總是滿足交換律,即 ,其中 和 是 階矩陣。但如果 ,我們說 和 是可交換矩陣 (或對易矩陣)。當矩陣具備清晰的幾何意義時,無須計算也很容易判斷它們是否為可交換矩陣。譬如,在二維空間 ,令旋轉矩陣 表示逆時針旋轉 角,伸縮矩陣 表示 軸伸縮 倍, 軸伸縮 倍,如下 (見“幾何變換矩陣的設計”): 。 從幾何直觀即可確定 ,而且若 ,則 。自然地,我們想探究:對於旋轉矩陣 ,甚至任意矩陣 ,哪些 滿足乘法交換律?不過說來奇怪,找尋可交換矩陣問題並不常見於線性代數教科書。是因為這個問題不值得討論,還是因為這個問題尚未被解決?值不值得討論屬於主觀認知,在此不予評論。不過客觀的事實是:僅使用基礎線性代數知識便可求出 的所有可交換矩陣 。為了探討可交換矩陣問題,我們定義交換子 (commutator,或稱對易算符) 為 與 的差,記為 。 若 ,則 , 和 是可交換矩陣。明顯地, 且 … Continue reading

Posted in 特徵分析, 線性代數專欄 | Tagged , , , , , , , , | 3 Comments

限定算子的特徵值與特徵向量 (下)

本文的閱讀等級:中級 令 是一有限維向量空間,, 是一線性變換, 是定義於不變子空間 的一個限定算子。上文“限定算子的特徵值與特徵向量 (上)”介紹了限定算子 的特徵值和特徵向量,及座標變換和相似變換。本文討論限定算子的特徵多項式和最小多項式,並證明以下三個命題: 限定算子 的特徵多項式整除線性變換 的特徵多項式。 限定算子 的最小多項式整除線性變換 的最小多項式。 若限定算子 不可對角化,則線性變換 也不可對角化。換句話說,若 可對角化,則 也可對角化。

Posted in 特徵分析, 線性代數專欄 | Tagged , , , , | Leave a comment