Tag Archives: 最小多項式

最小多項式的計算方法

本文的閱讀等級:高級 令 為一 階矩陣。若多項式 滿足 ,則 稱為 的一個消滅多項式。特徵多項式 是一般最常見的消滅多項式,此即 Cayley-Hamilton 定理 (見“Cayley-Hamilton 定理”)。最小多項式 是另一個特別的消滅多項式,它是 的所有消滅多項式中次數最小者。如果設定多項式的領先係數為 ,稱為首一多項式,則 有唯一的最小多項式。本文介紹三種最小多項式的計算方法:第一個方法來自定義;第二個方法計算 Jordan 形式的最大 Jordan 分塊階數;第三個方法基於循環子空間。為相互參照,我們用下例解說這三種方法的計算過程: 。 Advertisements

Posted in 線性代數專欄, 典型形式 | Tagged , , , , , | 6 Comments

循環向量定理

本文的閱讀等級:高級 令 為一個 階矩陣。對於 維向量 ,如果向量集 構成 的一組基底,則 稱為 的一個循環向量 (cyclic vector)。任一方陣 未必總是存在循環向量,譬如,單位矩陣 ,因為對於所有 ,。本文證明循環向量定理,包含下列等價陳述: 有一個循環向量。 相似於一個相伴矩陣 (companion matrix)。 的最小多項式即為其特徵多項式。 若 和 是可交換矩陣,,則 是由 形成的矩陣多項式,即 , 是一個多項式。

Posted in 線性代數專欄, 典型形式 | Tagged , , , , , , , , , | 6 Comments

答Louie──關於同時可對角化的證明

網友Louie留言: 老師你好,在第34堂課的最後,我有個問題:If and are diagonalizable, they have the same eigenvectors if and only if . 由左推到右,老師上課講的很清楚。但是由右推到左,在下才疏學淺,看了講義還是一知半解,想請問老師有沒有其它的算法能救救我?

Posted in 特徵分析, 答讀者問 | Tagged , , , , | 2 Comments

每週問題 June 27, 2011

本週問題是利用最小多項式解矩陣方程。 Find all the matrices such that .

Posted in pow 特徵分析, 每週問題 | Tagged , | Leave a comment

不變子空間──解構線性算子的利器

本文的閱讀等級:中級 設 是一個從向量空間 映至向量空間 的線性變換。若 ,我們稱 為定義於向量空間 的線性算子 (linear operator)。數學家發展出一個研究線性算子的方法,他們想像向量空間 可以分割成一組不交集的子空間 ,精確地說, 為這些不交集子空間的直和 (direct sum,見“補子空間與直和”): 。 對於任一 ,僅有唯一的 ,,能夠組合出 。為簡約符號,我們以 代表向量 經過 映射後得到的像 。利用線性變換的基本性質,可得 。 上式提示我們一個探索線性算子 的途徑:只要分別探討 在各個子空間 的行為即可對 的行為獲得完整的認識。實際的操作方式是令線性算子 限定於子空間 上,稱為限定算子 (restriction),記為 。限定算子成立的前提是任一 ,都有 ,即 ,滿足此性質的子空間 稱為 的不變子空間 (invariant … Continue reading

Posted in 線性代數專欄, 典型形式 | Tagged , , , , , , , , | 12 Comments

多項式的相伴矩陣

本文的閱讀等級:中級 給定一 階矩陣 ,最小多項式 為最小次數的首一 (最高次項的係數為 ) 消滅多項式, (見“最小多項式(上)”),顯然, 的次數不大於 ;相反的,針對任一個首一多項式 , 我們也可以問:是否存在一方陣其最小多項式為 ?這個問題的答案稱作相伴矩陣 (companion matrix),如下: 。 下面證明首一多項式 同時為其相伴矩陣 的特徵多項式和最小多項式。

Posted in 線性代數專欄, 典型形式 | Tagged , , , | Leave a comment

最小多項式 (下)

本文的閱讀等級:中級 給定一方陣 ,若多項式 滿足 ,我們稱 為 的消滅多項式。前文“最小多項式 (上)”說明了最小多項式 是 的所有消滅多項式中次數最小者。本文進一步討論最小多項式 與矩陣 的 Jordan 形式的關係,此結果提供了由最小多項式形式判斷 是否為可對角化矩陣的簡便方法。(對 Jordan 典型形式陌生的讀者,建議先閱讀“Jordan 形式大解讀 (上)”。)

Posted in 線性代數專欄, 典型形式 | Tagged , , , , , | Leave a comment

最小多項式 (上)

本文的閱讀等級:中級 給定一 次多項式 對於任意 階方陣 ,我們可定義下列矩陣多項式: 多項式和矩陣之間存在重要的關係,這種關係表現在矩陣的消滅多項式 (annihilating polynomial),亦即 使得 。線性代數學者最常碰到的多項式就是方陣 的特徵多項式 ,我們不免好奇:特徵多項式 是否會消滅 ?答案是肯定的,,這個結果稱作 Cayley-Hamilton 定理 (證明見“Cayley-Hamilton 定理”和“Cayley-Hamilton 定理的一個代數證明方法”)。除了特徵多項式,還有其他可消滅方陣 的多項式,最小多項式 (minimal polynomial) 是其中最特別的一個。

Posted in 線性代數專欄, 典型形式 | Tagged , , , , , , , | 6 Comments