Tag Archives: 梯形矩陣

高斯─約當法

本文的閱讀等級:初級 在解線性方程組的應用上,高斯─約當法[1] (Gauss-Jordan method) 是高斯消去法的延伸 (見“高斯消去法”),其目的要得到最簡約的列等價方程組。高斯消去法產生梯形矩陣後,我們可以繼續執行取代運算將軸元 (pivot) 上方的元悉數消去,並使用伸縮運算迫使軸元為 。高斯─約當法產生的矩陣稱為簡約列梯形式 (reduced row echelon form),由下列四個條件定義 (前兩個條件即為梯形矩陣的性質): 零列置於矩陣最底下。 每列軸元的位置都位於其上方各列軸元的右側。 軸元等於 。 軸元其上方與下方的元皆為零。 下面列舉兩個簡約列梯形式。數字 表示軸元,每一軸元上方和下方的元皆為零,其他各元 (以 表示) 可以是任意數: 。 Advertisements

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高斯消去法

本文的閱讀等級:初級 解線性方程組是線性代數處理的核心問題之一。考慮包含 個未知數 的線性方程式 , 其中係數 與 是給定的純量 (實數或複數)。若線性方程組有 個方程式,則可表示為陣列形式: 線性方程組的解 必須滿足上面 個方程式,也就是說方程組的解是 個方程式各自解的交集。線性方程組的系統化解法最早出現於公元前100年的中國古籍《九章算術》(見“《九章算術》的方程術”),隨後傳入日本和歐洲。今天,我們稱此算法為高斯消去法或高斯消元法 (Gaussian elimination) 以紀念德國數學家高斯 (Carl Friedrich Gauss) 的廣泛使用故而推廣了這個方法。

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左乘還是右乘,這就是問題所在

本文的閱讀等級:初級 蘇東坡遊廬山在西林寺壁題了一首膾炙人口富饒哲理的詩: 橫看成嶺側成峰,遠近高低各不同,不識廬山真面目,只緣身在此山中。 如果擴大對這首詩的詮釋,它也揭示了一種有效的線性代數學習法──從不同角度觀照,才能看見更多層次的意義。我曾經在“由簡約列梯形式判斷行空間基底”介紹一個矩陣的行空間 (column space) 算法[1],此法所依循的原理是「基本列運算不改變線性獨立的行向量集合」,也稱為保秩 (rank preserving),因此從簡約列梯形式 (reduced row echelon form) 即可判斷原矩陣的行空間基底。見下例, 。 對 執行基本列運算可得簡約列梯形式 。 矩陣 的第 與 行是線性獨立的 (為什麼?),推知 為 的行空間 的一組基底,但請你注意 的行空間並不等於 的行空間,目視便可確認 : 。 這個事實令人感到困惑:基本列運算的作用是 的列向量的線性組合,因此不改變 的列空間 (row space),但是 的線性獨立的行向量關係何以維持不變?我們的思維受「列運算」所牽絆,故難以撥雲見日看透真相。問題導引答案,如果換一個方式提問,那麼這個事實其實再明顯不過。

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由簡約列梯形式判斷行空間基底

本文的閱讀等級:初級 給定一個向量集合 ,如何從其中選擇最大的線性獨立子集合 (包含最多的線性獨立向量)?這個問題也可以換個方式說,令矩陣 的行向量[1]為 ,求 的行空間基底 (因為行空間 的基底是線性獨立的)。

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