Tag Archives: 極分解

正規矩陣的等價條件

本文的閱讀等級:高級 令 為一個 階矩陣。若 ,也就是說 和 可交換,則 稱為正規矩陣 (normal matrix)。例如,實對稱矩陣 、Hermitian 矩陣 、反共軛對稱矩陣 ,以及么正 (unitary) 矩陣 皆為正規矩陣 (見“特殊矩陣 (2):正規矩陣”)。目前已知的正規矩陣等價條件大約有 90 個[1],其中很多條件引用的概念相近,另有少許冷僻艱澀。本文挑選 25 個 (文獻[2]列舉出 70 個) 有關於特徵值、特徵向量、奇異值、跡數、範數、二次型、可交換、不變子空間 (invariant subspace)、正定、譜分解 (spectral decomposition),以及極分解 (polar decomposition) 等較具代表性的等價條件,並給出證明 (部分已刊登的證明僅提供連結)。 Advertisements

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共變異數矩陣與常態分布

本文的閱讀等級:中級 常態分布 (normal distribution),也稱高斯分布 (Gaussian distribution),其機率密度函數為 , 其中 是平均數 (mean), 是變異數 (variance)。對於 ,多變量常態分布的形式如下 (見“ 多變量常態分布”): , 其中 是平均數向量, 是 階共變異數矩陣 (covariance matrix), 是 的行列式。常態分布是一種應用相當廣泛的連續型機率分布,原因之一是大自然產生的變數經常具有常態分布,譬如,某城市成年男子的身高,某田地產出的蘿蔔重量;另外,對於從母體隨機抽取出的樣本,當樣本數增大時,樣本平均數的分布逼近常態分布[1] (見“ 樣本平均數、變異數和共變異數”)。圖1為 的一個常態分布樣本。本文從線性代數觀點探討常態分布與共變異數矩陣的幾何涵義。

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矩陣與複數的類比

本文的閱讀等級:高級 定義於向量空間 的任一線性變換可以用一個 階複矩陣表示 (參考某基底)。除了少數特殊矩陣,如對角矩陣、投影矩陣、旋轉矩陣,和鏡射矩陣等,學者經常無法清楚地掌握矩陣變換的確實行為,主要原因是人們很難想像高維 () 向量空間,遑論向量在這些空間中的變換。欲洞察任意方陣的映射行為雖非易事,但也不是全然無跡可循,本文介紹一個認識矩陣作為的方法──透過矩陣與複數的類比來區分界定重要的特殊方陣。對複矩陣陌生的讀者,請先閱讀背景文章 “從實數系到複數系”。

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特殊矩陣 (6):正定矩陣

本文的閱讀等級:中級 令 為一個 階實對稱矩陣。若每一 維非零實向量 皆使得 , 我們稱 為正定 (positive definite);若將上述條件放鬆為 , 則 稱為半正定 (positive semidefinite)。改變正定和半正定的不等式方向就有 是負定或半負定的概念,也可以說 是正定或半正定。如果 可能是正值也可能是負值,則稱 是未定的 (indefinite)。

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極分解

本文的閱讀等級:中級 任一 階實矩陣 都可以被分解為 , 稱為極分解 (polar decomposition),其中 是實正交 (orthogonal) 矩陣, 是實對稱半正定 (positive semidefinite) 矩陣。若 是一個複矩陣,則 是么正 (unitary) 矩陣, 是 Hermitian (共軛對稱) 半正定矩陣。

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