Tag Archives: 機率密度函數

隨機變數

本文的閱讀等級:初級 在機率學,一個實驗 (experiment) 由下列三個概念設定 (見“機率學的基本語彙”): 樣本空間 包含所有可能的實驗結果, 定義於 的所有事件, 每一個事件的機率。 現實問題中,實驗結果常被賦予可度量的性質。舉例來說,考慮投擲一枚硬幣 次,結果 可用字元 (正面) 與 (反面) 所組成的長度為 的字串表示。這個實驗的樣本空間 有 個字串 (元素)。假設我們關心出現正面的次數,令函數 等於字串 所含的 字元數,例如,,,。函數 的值域為 。對於 ,存在 個字串 使得 ,其中 代表從100個元素選取 個元素的組合數。因此, (見“二項式係數與組合問題”)。在建立機率模型時,以函數 的值域取代樣本空間有兩個明顯的好處:第一,函數 由我們所考慮的問題決定,據此建立的模型呈現問題情境。第二,函數 的值域是數組成的集合故而便利計算。我們在實驗的樣本空間 上制定的函數 引申出機率學的一個核心概念,稱為隨機變數 (random variable)。

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動差生成函數 (下)

本文的閱讀等級:中級 延續前文“動差生成函數 (上)”,本文將探討連續型隨機變數的動差生成函數。連續型隨機變數 的值域為全部實數或由一部分區間組成,即 ,其中 。連續型隨機變數 的機率分布一般以下面兩種方式表示: 機率密度函數 (probability density function) 滿足 。 累積分布函數 代表 。 連續型隨機變數 的期望值 和變異數 定義為 我們稱 的期望值為 的 次動差,表示如下: , 前提是上式必須收斂。連續型隨機變數 的動差生成函數定義為 , 其中最後一個等號係因 是隨機變數的線性算子。計算 在 的 次導數可得 ,因為 立得 。

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