Tag Archives: 機率

動差生成函數 (下)

本文的閱讀等級:中級 延續前文“動差生成函數 (上)”,本文將探討連續型隨機變數的動差生成函數。連續型隨機變數 的值域為全部實數或由一部分區間組成,即 ,其中 。連續型隨機變數 的機率分布一般以下面兩種方式表示: 機率密度函數 (probability density function) 滿足 。 累積分布函數 代表 。 連續型隨機變數 的期望值 和變異數 定義為 我們稱 的期望值為 的 次動差,表示如下: , 前提是上式必須收斂。連續型隨機變數 的動差生成函數定義為 , 其中最後一個等號係因 是隨機變數的線性算子。計算 在 的 次導數可得 ,因為 立得 。

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動差生成函數 (上)

本文的閱讀等級:中級 機率 (概率) 學的研究始於隨機實驗。考慮投擲一顆六面骰子,樣本空間是所有可能出現點數形成的集合。為了分析機率模型,我們定義隨機變數 為一個從樣本空間至實數系的函數。(本文沿用機率學的慣用符號,隨機變數以大寫斜體英文字母表示,矩陣則以大寫粗體英文字母表示。) 譬如,若骰子擲出 點,則設 ,因此 的值域為 。如果隨機變數 的值域為一有限集 或無限可數集 (包含無窮多個元素的集合,其中每一個元素唯一對應一個自然數),則 稱為離散型隨機變數。如果隨機變數 的值域為全部實數或由一部分區間組成,即 ,其中 ,則 稱為連續型隨機變數。本文討論內容限定於離散型隨機變數 (下篇將介紹連續型隨機變數的動差生成函數)。在機率學中,離散型隨機變數 的機率分布通常以兩種方式表示: 機率質量函數 (probability mass function) ,即 等於 的機率。在不造成混淆的情況下,我們經常稱機率質量函數為機率分布。 累積分布函數 (cumulative distribution function) ,即 不大於 的機率。顯然,。 本文將介紹第三種機率分布的描述方式,稱為動差生成函數或動差母函數 (moment generating function)。

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利用馬可夫鏈計算擲幣事件發生的機率

本文的閱讀等級:中級 美國康乃爾大學心理學教授季洛維奇 (Thomas Gilovich) 每年都會在他的統計學課堂中安排一個實驗[1]。他要求每位學生各自寫下一組心中模擬投擲一枚公正硬幣20次所產生的隨機序列,分別以 O 和 X 代表正面和反面。但是,其中一位學生則被指派實際投擲一枚硬幣20次,也寫下他的實驗結果。季洛維奇在實驗進行前走出教室,等他返回教室後,他將接受一項挑戰:檢視所有學生繳交的實驗記錄,然後判斷其中那一張紙記載了實際擲幣產生的序列。季洛維奇總是能令學生們驚訝不已,他無一次例外地揀選出真實的擲幣序列。究竟他是怎麼辦到的?季洛維奇既沒有暗藏機關也不具特異能力,他掌握的技能不過就是「資訊不對稱」。身為心理學教授,他知道絕大多數人──包括教室中的學生──總是低估了出現連續正面或反面的機率。真實的擲幣結果幾乎都是那張記錄著最長的連續正面或反面的序列,例如: OXXXXXOXOOXOOXOOXOOX, 而學生們想像出來的擲幣序列則經常如下: XXOXOOOXOOXOXXOOXXOO。 本文的主題即在破解季洛維奇的戲法:釐清投擲一枚公正硬幣 次,計算出現至少連續 次正面的機率。

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辛普森悖論──違反直覺的奇怪現象

想像你面前有三張桌子 (點選圖片可放大檢視),每張桌上都放了一個黃罐子和一個藍罐子。1 號桌上的黃罐子裡有 5 顆白球和 4 顆紅球,藍罐子裡有 4 顆白球和 3 顆紅球。其他桌上罐子裡的白球和紅球個數如括弧裡的數字所示。你走到每張桌子前,各有一次抽球的機會,你希望能夠抽出白球。

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貝氏定理──量化思考的利器

本文的閱讀等級:初級 芝加哥大學商學院教授賽勒 (Richard Thaler) 專事「行為金融學」(behavioral finance) 的研究,過去幾年來他都會對上課的學生提出以下問題: 史蒂芬,30歲,美國人。史蒂芬的一位鄰居這樣描述他:「史蒂芬害羞且內向,總是願意提供幫忙,但對一般大眾或社會議題沒有什麼參與興趣。他的性格柔弱順從,他渴求秩序並講究細節。」請問史蒂芬目前最可能的職業是售貨員或圖書館員? 繼續閱讀下去前,請讀者也提供自己的答案與判斷的依據。

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回覆網友gogosister有感個人競爭力的焦慮

網友gogosister留言: 談到提昇個人競爭力,想到前陣子台大化工某教授出的一本書《續》解釋一個日本人提的π(拍)型人理論,拍的一隻腳就是第一專長,另一隻腳就是第二專長,特別是第二專長要跟第一專長能夠銜接,而非再重新學習一個另外與第一專長無關的新專長,上面那條橫橫的槓大概就是銜接第一跟第二專長,及所謂的跨領域吧。 今日又聽到資深政論評論家胡忠信說一個人必須至少具備三個專長(他是從立委王雪峰拾荒有感而發),我越聽越覺得焦慮,那再過個幾年之後每個人是否都要像變形蟲或是三頭六臂的怪獸一樣擁有五六個專長阿@@?老師覺得呢?

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蒙提霍爾問題

女兒第一次看到我的部落格的反應是: 「你的 blog 超無聊的啦……@@」 女兒從小就很孝順,會說出這種大逆不道的話應是無心之過。沒生氣,我原諒她。 「無聊?blog 是為拯救眾生而非娛樂大家。」我驕傲地回答。 「好啦,you got a point…你的 blog 使命重大,是要幫助很多人的!但我還是很期待 [你] 真的可以架設一個心靈啟迪小站之類的,感覺更適合你,哈哈。」

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