Tag Archives: 歐拉公式

三角恆等式的助記術

如果那一天我決心要寫《懺悔錄》自我批判,裡面肯定會有一個章節毫不掩飾地講述自己曾經耗費大量的時間與精力學習三角恆等式,但每每一覺醒來一切又回到原點。在西西弗斯式 (Sisyphean) 永無盡頭且徒勞無功的磨難後,我開始尋求自我救贖。過程中,內心幾經掙扎與煎熬,最後受到歐拉 (Leonhard Euler) 的幫助才得以稍稍減輕勞苦。我的三角恆等式救贖之道不過就是仰賴歐拉公式的助記術 (mnemonic,助記並不表示最後能夠記住)。這是著名的歐拉公式 (見“歐拉恆等式──最優美的數學定理”) , 其中 是實數,。下面是運用歐拉公式推導和差角公式、倍角公式、半角公式,以及冪簡約 (降冪) 公式的告白。 Advertisements

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線性微分方程的穩定性

本文的閱讀等級:中級 在許多物理、工程和經濟學問題,我們常關注動態系統在均衡狀態 (equilibrium state) 附近的行為。如果一系統受到小干擾後最終會返回均衡狀態,便稱此系統是漸近穩定 (asymptotically stable,以下簡稱穩定),否則稱為不穩定。設向量 表示系統於時間 所處的狀態。對於一般動態系統,我們可以用線性微分方程 近似描述系統在均衡狀態 附近的行為,其中 是一 階常數矩陣, 是由擾動所決定的初始狀態。本文推導穩定線性系統的充分與必要條件,即當 ,線性微分方程解 的所有元趨於零的條件。

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歐拉恆等式──最優美的數學定理

本文的閱讀等級:初級 公元1990年德國 Springer Verlag 出版公司發行的 The Mathematical Intelligencer 期刊公布一項票選結果:歐拉恆等式 (Euler’s identity) 獲選為「最優美的數學定理」(the most beautiful theorem in mathematics)[1]。下面抄錄維基大典的歐拉生平介紹[2]: 歐拉 (Leonhard Euler),瑞士巴塞爾人也,一七零七年四月十五日生。一七二六年得博士銜。翌年,教俄羅斯科學院,俄與數學競賽,論船桅之構作,僅敗於布給。布給者,泰西航海學之父也。越四年,除教授。復越兩年,拜數學系主任。翌年,罹患,右目眇。一七四一年,俄國亂,遂遷柏林,教柏林科學院。一七六六年,返俄羅斯科學院。一七八三年九月十八日卒,年七十七。法蘭西哲人孔多塞曰:「至此,歐拉不復算數,亦無復生也。」歐氏執十八世紀數學牛耳,論文近千,惟二十世紀保羅•艾狄胥可匹敵之。究分析,創函數,混一歐洲大陸及英國之微積分;解七條橋問題,開圖論及拓撲之先;論複數,究歐拉數,得歐拉恆等式,譽最優美恆等式;論凸多面體,證歐拉等式,後人推而廣之,得流形之歐拉特徵值;究歐拉函數,得歐拉定理,為費馬小定理之推廣。

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自由振動系統的特徵值與特徵向量

本文的閱讀等級:中級 公元1940年7月1日美國華盛頓州的塔科馬海峽懸索橋 (Tacoma Narrows Bridge) 正式啟用通車。不到數星期,橋面便開始上下擺動,其後擺動幅度不斷增加,工程人員嘗試加建纜索與液壓緩衝裝置企圖減低波動,但均未見成效。啟用四個月後,同年11月7日上午,橋身扭動愈發劇烈,最後橋面於數分鐘內陸續坍塌[1](見圖一,YouTube影片紀錄坍塌實況)。   塔科馬海峽懸索橋坍塌的原因為其橋面厚度不足,在受到強風的吹襲下引起卡門渦街 (Kármán vortex street),使橋身不斷晃動。當卡門渦街的振動頻率和吊橋自身的固有頻率 (即自由振動時的頻率,亦稱自然頻率) 相同時,遂引起橋身共振終至崩塌。所謂共振是指在特定頻率下,一物理系統以最大振幅振動,此特定頻率即稱為共振頻率。當阻尼 (damping) 很小時,共振頻率大約等於系統固有頻率。(台北101大樓擁有全球最大的抗風阻尼器,見 “如何幫大樓抗風防震?淺談台北101大樓阻尼器”。) 下面是維基百科關於卡門渦街的介紹以及塔科馬海峽懸索橋坍塌的解釋[2]: 在流體中安置阻流體,在特定條件下會出現不穩定的邊界層分離,阻流體下游的兩側會產生兩道非對稱地排列的旋渦,其中一側的旋渦循時針方向轉動,另一旋渦則反方向旋轉,這兩排旋渦相互交錯排列,各個旋渦和對面兩個旋渦的中間點對齊,如街道兩邊的街燈般 (見維基百科),這種現象因匈牙利裔美國空氣動力學家馮•卡門 (Theodore von Kármán,1881-1963) 最先從理論上闡明而得名卡門渦街。 卡門渦街可能引起建築物倒塌。…塔科馬海峽吊橋倒塌後第二天,華盛頓州州長宣布該座吊橋的設計牢靠,計劃按同樣設計重建。馮•卡門覺得此事不妥,便覓來一個塔科馬海峽吊橋模型帶回家中,放在書桌上,開動電扇吹風,模型開始振動起來,當振動頻率達到模型的固有頻時,發生共振,模型振動劇烈。果然不出所料,塔科馬海峽吊橋倒塌事件的元兇,正是卡門渦街引起橋樑共振。其後馮•卡門令助手在加州理工學院風洞內,進一步測試塔科馬海峽吊橋模型,取得數據,然後發一份電報給華盛頓州州長:「如果按舊設計重建一座新橋,那座新橋會一模一樣的倒塌」。州長設立一個塔科馬海峽吊橋倒塌事件考察小組,馮•卡門系成員之一。經一番爭論,馮•卡門終於說服當時不懂空氣動力學知識的橋樑設計師,在建新橋之前,先將橋樑模型進行風洞測試。會議決定採用新的設計避免卡門渦街對橋樑引起的禍害。   本文介紹自由振動系統的特徵值與特徵向量,目的在顯現其物理涵義:在多自由度的自由振動系統中,固有頻率由系統的特徵值決定,而振型 (mode shape) 則由對應的特徵向量決定。

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離散傅立葉轉換

本文的閱讀等級:中級 考慮定義於區間 的 -週期函數 的指數傅立葉級數 (見“傅立葉級數 (下)”): , 其中複傅立葉係數為 。 若 滿足 Dirichlet 條件 (見“傅立葉級數 (上)”),可以證明 ,在此情況下,往後我們不再區分函數 與其傅立葉級數 ,而一律以 表示。本文將解除 是週期函數的限制,以下僅假設 是有界的。當 ,傅立葉級數可推廣為傅立葉轉換 (Fourier transform)。還有,若 不再是連續函數而是一有限數列,傅立葉級數又可延伸為離散傅立葉轉換 (discrete Fourier transform,簡稱 DFT)。本文將介紹這兩種轉換的推導過程,並解說離散傅立葉轉換的線性代數性質。

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傅立葉級數 (下)

本文的閱讀等級:中級 上文“傅立葉級數 (上)”介紹了 -週期實函數 的傅立葉級數 為餘弦和正弦函數組成的無窮級數: , 其中傅立葉係數 和 的計算公式如下: 若 是一奇函數,則 ,故 ,。另一方面,若 是一偶函數,則 ,故 ,。   -週期函數的傅立葉級數 考慮一週期等於 ,定義於區間 的週期函數 。利用變數變換 可使區間 變換至 ,將 代入 ,即得到 的傅立葉級數: , 將 代入 的傅立葉係數的積分公式,可得 對於 -週期函數 ,任何區間 皆可使用,如何選擇 值取決於便利性和個人偏好,常見的設定有 或 。

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