Tag Archives: 正交性

每週問題 April 11, 2016

利用畢氏定理判定兩個正交的複向量。 Let be a complex inner product space. Show that two vectors and in are orthogonal if and only if for all pairs of scalars and . Advertisements

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傅立葉級數 (上)

本文的閱讀等級:中級 考慮一有限維內積空間 ,且 。任意 的內積記為 。令 為 的一組基底。向量空間 中任一向量 可唯一表示成 的線性組合: 。 收集所有係數 即構成向量 參考基底 的座標向量 ,兩者之間具有一對一的映射關係: , 我們稱 所屬的向量空間 與 所屬的幾何向量空間 是同構的 (isomorphic,見“同構的向量空間”)。欲得到 的座標向量 必須解開一 階線性方程組,這不是我們樂見的事。但如果 是一組單範正交基底 (orthonormal basis),也就是說 若 , 若 ,則完全不需要經過解方程式過程即可求得 。利用內積的半雙線性性質 (見“內積的定義”),可得 故 有下列正交分解展開式: , 其中 … Continue reading

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每週問題 March 26, 2012

本週問題是證明一特殊矩陣的子陣尺寸問題,該矩陣其各元為1或 ,且各列彼此正交。 Pow-March-26-12 參考解答 PowSol-March-26-12

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每週問題 January 2, 2012

本週問題是從子空間容斥關係推導正交性質。 Pow-Jan-2-12 參考解答 PowSol-Jan-2-12

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每週問題 February 21, 2011

設  為 階方陣 的特徵值且相重數為 ,若 和 分別為右特徵向量和左特徵向量,證明 和 不正交。 Pow-Feb-21-11 參考解答 PowSol-Feb-21-11

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實對稱矩陣可正交對角化的證明

本文的閱讀等級:中級 實對稱矩陣是應用最廣的一種特殊矩陣,主要原因在於實對稱矩陣可表達二次型且出現於許多應用領域 (見“二次型與正定矩陣”,“Hermitian 矩陣與實對稱矩陣的一些實例”)。實對稱矩陣具備美好的性質:特徵值皆為實數,並有完整的單範正交 (orthonormal) 特徵向量,也就是說,實對稱矩陣可正交對角化 (orthogonally diagonalizable)。令 為一個 階實對稱矩陣且 為 的特徵值。所謂正交對角化是指存在一個實正交矩陣 (orthogonal matrix) ,,使得 ,其中 的行向量 (column vector) 是 的特徵向量。實對稱矩陣屬正規 (normal) 矩陣家族的一員,滿足 ,這裡 代表共軛對稱。正規矩陣的標記性質是可么正對角化 (unitarily diagonalizable),即 ,其中 是么正 (unitary) 矩陣,滿足 ,因此立刻得知實對稱矩陣可正交對角化 (見“特殊矩陣 (2):正規矩陣”)。本文介紹另一個不常見於教科書的證明方法,此法結合了一些重要的線性代數分析技巧,包括不變子空間 (invariant subspace)、正交補餘 (orthogonal complement),以及分塊矩陣運算,值得讀者詳加探究。本文內容可以直接推廣至 Hermitian 矩陣,你只要將 … Continue reading

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可對角化矩陣的譜分解

本文的閱讀等級:中級 在矩陣分析中,對角化 (diagonalization) 是一個非常重要的概念與工具。如果 階矩陣 相似於一對角矩陣,我們稱 是可對角化矩陣 (diagonalizable matrix),具體地說,存在一同階可逆矩陣 使得 為對角矩陣,意味矩陣 可分解為 。矩陣的對角化與特徵分析有密切的關係,對角矩陣 的主對角元 為 的特徵值,而對角化的變換矩陣 的行向量 (column vector) 為對應特徵值 的特徵向量,。可對角化矩陣的直觀解釋是如果以特徵向量 當作基底,則參考這組基底的線性變換表示矩陣,即特徵值矩陣 ,具有最簡約的主對角形式。本文介紹可對角化矩陣的另一個分解表達式,稱為譜分解 (spectral decomposition) 或譜定理,它的特點是能夠表現更豐富的幾何意義,同時也具備簡化可對角化矩陣函數計算的功用 (見“矩陣函數 (上)”)。

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正交投影──威力強大的線代工具

本文的閱讀等級:中級 具有內積功能的向量空間簡稱為內積空間,線性代數中許多重要理論和應用都從內積空間衍生出來,例如基底正交化,QR 分解,最小平方法,矩陣譜定理,甚至奇異值分解 (singular value decomposition) 也和內積空間密切相關。在內積空間中,最重要的運算除了內積本身,另一個威力強大的代數工具就是將任意向量分解為正交分量之和的正交投影 (orthogonal projection)。本文介紹兩個推導正交投影矩陣方法,第一個是歸納法,從一道簡單的幾何問題開始──將向量投影至一直線,繼續推廣可導出至一般子空間的正交投影。這個方法較具幾何直觀,適宜初學者學習。另一個方法是將正交性質加入向量空間的斜投影,再利用矩陣代數推導正交投影矩陣。本文內容限定實幾何向量空間 ,如欲延伸至 ,僅需將轉置 改為共軛轉置 。

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每週問題 November 2, 2009

這是關於 Gram-Schmidt 正交化,QR 分解,以及求正交投影矩陣的基本問題。 點選問題↓ Pow-Nov-2-09 參考解答↓ PowSol-Nov-2-09

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每週問題 October 12, 2009

本週問題是關於交互乘積 與  的一些基本性質。 點選問題↓ Pow-Oct-12-09 參考解答↓ PowSol-Oct-12-09

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