Tag Archives: 正交矩陣

每週問題 February 20, 2017

證明三階旋轉矩陣的一個跡數恆等式。 Let be a real orthogonal matrix and . Prove that . Advertisements

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答DJWS──關於以鏡射變換實現矩陣轉置

網友DJWS留言: 想請教老師一個問題:給定矩陣 ,使用一連串的鏡射變換,變成其轉置 ,該如何做呢?

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每週問題 September 21, 2015

若 是正交矩陣,則 是反對稱矩陣。 Let be an orthogonal matrix, where each entry is a differentiable function of . Show that is skew-symmetric.

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高階旋轉矩陣

本文的閱讀等級:中級 若 是 階實正交矩陣 (簡稱正交矩陣),,且 ,則 稱為旋轉矩陣。以下設 。正交變換具有保角、保長以及保距性。下面是正交矩陣的等價界定性質 (見“旋轉與鏡射”): 對於任意 ,。 對於任一 ,。 對於任意 ,。 加入條件 的用意在於物體旋轉是剛體運動 (rigid body motion),故而保留方向性 (orientation)。若 和 是同大小的旋轉矩陣,則 且 ,可知 也是旋轉矩陣。

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旋轉與鏡射

本文的閱讀等級:中級 令 為一個 階實矩陣。若 ,即 ,我們稱 為正交矩陣 (orthogonal matrix) 。令 為正交矩陣 的行向量 (column vector),。因此,,即 若 , 若 。正交矩陣的行向量組成一個單範正交集 (orthonormal set)。因為 是實矩陣,,正交矩陣是一種特殊的么正 (unitary) 矩陣,其界定條件為 。正交矩陣繼承么正矩陣的性質,正交變換具有保角、保長以及保距性。下面是正交矩陣的等價界定性質 (證明見“等距同構與么正矩陣”): 對於任意 ,。 對於任一 ,。 對於任意 ,。 本文討論兩種主要的正交矩陣:旋轉與鏡射,並解說兩者的相互表達。為便利說明,我們將使用下列預備知識。假設 ,。使用性質2,,即得 ,故正交矩陣的特徵值的絕對值等於 。正交矩陣歸屬正規 (normal) 矩陣,即 ,因此擁有完整的 個單範正交特徵向量 (見“特殊矩陣 … Continue reading

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每週問題 March 2, 2015

這是關於實正交矩陣的特徵向量性質。 Let be a real orthogonal matrix, i.e., is real and . Let be an eigenvalue of and be a corresponding eigenvector, where and are real vectors. If is not real, show that and .

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每週問題 August 4, 2014

這是矩陣秩的計算問題,取自“台聯大2014年碩士班招生考試試題 (電機類工程數學D)”。 Let . Find .

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每週問題 May 26, 2014

如果一個可逆方陣的奇異值都相同,這是甚麼特殊矩陣? Let be a nonsingular real matrix. If all singular values of are equal, show that , where is a real number and is a real orthogonal matrix.

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每週問題 May 5, 2014

這是關於正交矩陣的主對角分塊的奇異值問題。 Let be an real orthogonal matrix partitioned as , where are . Show that and have the same singular values.

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三維空間的旋轉矩陣

本文的閱讀等級:中級 在二維平面上,逆時針方向旋轉 徑度 (弧度,radian) 的旋轉矩陣為 (見“幾何變換矩陣的設計”) 。 不難驗證 的特徵值為 和 ,其中 ,並具有下面兩個基本性質: 旋轉矩陣 的兩個行向量 (column vector) 和 組成一個單範正交集 (orthonormal set),也就是說, 是一個實正交矩陣 (orthogonal matrix),滿足 ,故逆旋轉矩陣為 。 對於任一實正交矩陣 ,,即得 。若 ,則 稱為適當的 (proper) 正交矩陣。計算 ,旋轉矩陣 是適當的正交矩陣。若 ,則 稱為不適當的正交矩陣,例如鏡射矩陣 (見“旋轉與鏡射”) 。 本文討論常見於電腦圖學 (computer … Continue reading

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