Tag Archives: 正交矩陣

每週問題 February 20, 2017

Posted on 02/20/2017 by ccjou

證明三階旋轉矩陣的一個跡數恆等式。 Let be a real orthogonal matrix and . Prove that .

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答DJWS──關於以鏡射變換實現矩陣轉置

Posted on 11/25/2016 by ccjou

網友DJWS留言： 想請教老師一個問題：給定矩陣 ，使用一連串的鏡射變換，變成其轉置 ，該如何做呢？

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每週問題 September 21, 2015

Posted on 09/21/2015 by ccjou

若 是正交矩陣，則 是反對稱矩陣。 Let be an orthogonal matrix, where each entry is a differentiable function of . Show that is skew-symmetric.

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高階旋轉矩陣

Posted on 08/19/2015 by ccjou

本文的閱讀等級：中級 若 是 階實正交矩陣 (簡稱正交矩陣)，，且 ，則 稱為旋轉矩陣。以下設 。正交變換具有保角、保長以及保距性。下面是正交矩陣的等價界定性質 (見“旋轉與鏡射”)： 對於任意 ，。 對於任一 ，。 對於任意 ，。 加入條件 的用意在於物體旋轉是剛體運動 (rigid body motion)，故而保留方向性 (orientation)。若 和 是同大小的旋轉矩陣，則 且 ，可知 也是旋轉矩陣。

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旋轉與鏡射

Posted on 08/12/2015 by ccjou

本文的閱讀等級：中級 令 為一個 階實矩陣。若 ，即 ，我們稱 為正交矩陣 (orthogonal matrix) 。令 為正交矩陣 的行向量 (column vector)，。因此，，即 若 ， 若 。正交矩陣的行向量組成一個單範正交集 (orthonormal set)。因為 是實矩陣，，正交矩陣是一種特殊的么正 (unitary) 矩陣，其界定條件為 。正交矩陣繼承么正矩陣的性質，正交變換具有保角、保長以及保距性。下面是正交矩陣的等價界定性質 (證明見“等距同構與么正矩陣”)： 對於任意 ，。 對於任一 ，。 對於任意 ，。 本文討論兩種主要的正交矩陣：旋轉與鏡射，並解說兩者的相互表達。為便利說明，我們將使用下列預備知識。假設 ，。使用性質2，，即得 ，故正交矩陣的特徵值的絕對值等於 。正交矩陣歸屬正規 (normal) 矩陣，即 ，因此擁有完整的 個單範正交特徵向量 (見“特殊矩陣 … Continue reading →

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每週問題 March 2, 2015

Posted on 03/02/2015 by ccjou

這是關於實正交矩陣的特徵向量性質。 Let be a real orthogonal matrix, i.e., is real and . Let be an eigenvalue of and be a corresponding eigenvector, where and are real vectors. If is not real, show that and .

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每週問題 August 4, 2014

Posted on 08/04/2014 by ccjou

這是矩陣秩的計算問題，取自“台聯大2014年碩士班招生考試試題 (電機類工程數學D)”。 Let . Find .

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每週問題 May 26, 2014

Posted on 05/26/2014 by ccjou

如果一個可逆方陣的奇異值都相同，這是甚麼特殊矩陣？ Let be a nonsingular real matrix. If all singular values of are equal, show that , where is a real number and is a real orthogonal matrix.

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每週問題 May 5, 2014

Posted on 05/05/2014 by ccjou

這是關於正交矩陣的主對角分塊的奇異值問題。 Let be an real orthogonal matrix partitioned as , where are . Show that and have the same singular values.

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三維空間的旋轉矩陣

Posted on 04/29/2014 by ccjou

本文的閱讀等級：中級 在二維平面上，逆時針方向旋轉 徑度 (弧度，radian) 的旋轉矩陣為 (見“幾何變換矩陣的設計”) 。 不難驗證 的特徵值為 和 ，其中 ，並具有下面兩個基本性質： 旋轉矩陣 的兩個行向量 (column vector) 和 組成一個單範正交集 (orthonormal set)，也就是說， 是一個實正交矩陣 (orthogonal matrix)，滿足 ，故逆旋轉矩陣為 。 對於任一實正交矩陣 ，，即得 。若 ，則 稱為適當的 (proper) 正交矩陣。計算 ，旋轉矩陣 是適當的正交矩陣。若 ，則 稱為不適當的正交矩陣，例如鏡射矩陣 (見“旋轉與鏡射”) 。 本文討論常見於電腦圖學 (computer … Continue reading →

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