Tag Archives: 正交補餘

本文的閱讀等級：中級 令 為幾何向量空間 的一個子空間，且 是 的正交補餘 (orthogonal complement)，意思是 且 。換一個說法，任一 可唯一分解成 ，其中 ，，且 。令 表示映射至子空間 的 階正交投影矩陣。下列性質成立 (見“正交投影矩陣的性質與界定”)： 對於每一 ，。 對於每一 ，。 是實對稱冪等矩陣，即 。 且 。 若 () 且 是 的一組基底，將所有的基底向量組成 階矩陣 ，正交投影矩陣 可由下列公式算得 (推導見“線代膠囊──正交投影矩陣”)： 。 值得注意的是 不因所選擇的基底 (即 矩陣) … Continue reading →

本文的閱讀等級：中級 令 為一 階實矩陣。若 ，則 可正交對角化為 ，其中 是實正交矩陣 (orthogonal matrix)，滿足 ，， 是 的特徵值 (見“實對稱矩陣可正交對角化的證明”)。以下令 ， 表示 的行空間 (column space，即值域)， 表示 的零空間 (nullspace)。本文介紹一種涵蓋對稱矩陣的特殊矩陣，稱為值域對稱矩陣 (range symmetric matrix)，具有下列等價的界定性質： ，其中 是一 階可逆分塊， 是一正交矩陣。 直白地說，值域對稱矩陣 的行空間等於列空間 (即 )，零空間等於左零空間 (即 )，行空間正交於零空間，且 正交相似於 ，其中 是可逆分塊。當值域對稱矩陣 退化為一對稱矩陣時， 即為非零特徵值所組成的對角矩陣。若 … Continue reading →

網友andy6829留言： 周老師您好，我最近從一本書籍 (有關錯誤更正碼的線性區塊碼) 看到作者對某個向量空間的敘述，但我左想右想還是不知道作者想表達的意思是什麼，可以請問老師下列的敘述代表著什麼意思呢？ 對任何一個由 個線性獨立的列向量所組成的 矩陣 ，均存在一個由 個線性獨立的列向量組成的 矩陣 (為甚麼？)，使得 的列空間的任意向量與 的列向量正交，並且任何與 的列向量正交的向量都在 的列空間中 (為甚麼？)： 的列空間等於 的零空間。 我看過您所發表的〈行空間與零空間的互換表達〉，感覺好像和我所要問的問題很類似，但我還是百思不得其解，可以請老師給我一些提示 (hint)，好使我了解其中的意義嗎？謝謝周老師的幫忙。