Tag Archives: 正定矩陣

每週問題 February 27, 2017

利用相合 (congruence) 變換證明若 ,則 。 Let and be Hermitian matrices. We will write that if is positive definite. The inequality means that is positive definite. Prove that if , then . Advertisements

Posted in pow 二次型, 每週問題 | Tagged , | Leave a comment

每週問題 February 6, 2017

計算多變數高斯積分。 Let be an real symmetric positive definite matrix. Prove that , where .

Posted in pow 二次型, 每週問題 | Tagged , | Leave a comment

每週問題 January 23, 2017

證明正定矩陣的伴隨矩陣 (adjugate) 也是一個正定矩陣。 Prove that if is a real symmetric positive definite then is also a symmetric positive definite matrix.

Posted in pow 二次型, 每週問題 | Tagged , | Leave a comment

每週問題 September 26, 2016

若可對角化矩陣的特徵值皆為實數,則此矩陣可表示為正定矩陣與 Hermitian 矩陣之積。 Let be a diagonalizable matrix with real eigenvalues. Show that can be represented as , where is a positive definite matrix and is a Hermitian matrix.

Posted in pow 二次型, 每週問題 | Tagged | 3 Comments

Krylov 子空間法──線性方程的數值解法 (三):共軛梯度法

本文的閱讀等級:高級 共軛梯度法 (conjugate gradient method) 是一個適用於實對稱正定矩陣的線性方程數值解法。顧名思義,共軛梯度法的核心是共軛 (conjugacy) 和梯度 (一階導數)。共軛能夠加快收斂,梯度則提供正交基底。因為這兩個特性,共軛梯度法的結構簡單優美,儲存量及運算量少,並且無須設定參數。對於大尺寸矩陣,我們往往無法使用直接法求解,譬如 Cholesky 分解 (見“Cholesky 分解”),這時候可以採用以迭代方式計算的共軛梯度法。此外,對於大型非線性最佳化問題,共軛梯度法也是最有效的數值算法之一。

Posted in 線性代數專欄, 數值線性代數 | Tagged , , , , | 1 Comment

每週問題 October 6, 2014

本週問題是證明 Hermitian 正定矩陣的積必可對角化。 Let and be Hermitian matrices. Show that if or is positive definite, then is diagonalizable.

Posted in pow 二次型, 每週問題 | Tagged , | Leave a comment

每週問題 August 11, 2014

這是關於 Gramian 矩陣 和 的正定性判別問題,修改自“台聯大2013年碩士班招生考試試題 (電機類工程數學C)”。 Consider an real matrix with linearly independent columns, and . Which of the following statements are true? (a) is positive definite. (b) is positive definite. (c) The column space of is spanned by all … Continue reading

Posted in pow 二次型, 每週問題 | Tagged , | Leave a comment

每週問題 July 14, 2014

這是關於二次型的性質與判別問題,取自“台聯大2014年碩士班招生考試試題 (電機類工程數學D)”。 Let be an real matrix. Which of the following statements are true? (a) If all the eigenvalues of are positive, then for every nonzero . (b) If all the eigenvalues of are positive, then . (c) If for … Continue reading

Posted in pow 二次型, 每週問題 | Tagged , | Leave a comment

多變量常態分布

本文的閱讀等級:中級 在數學、統計學、物理和工程等領域,常態分佈 (normal distribution,Gaussian distribution) 是一個非常重要的連續型機率 (概率) 分布模型。本文將回答下列問題: 如何推導多變量常態分布的機率密度函數 (probability density function)? 怎麼證明服從常態分布的隨機向量的線性變換也為常態分布? 怎麼證明服從常態分布的多隨機變數的子集合亦為常態分布? 如何判別二組 (常態分布) 隨機變數集的獨立性? 具有常態分布的條件機率密度函數為何? 給定條件機率密度函數 ,如何計算 ? 為了避免繁瑣的積分運算,我們以動差生成函數 (moment generating function) 推演,這個方法的理論基礎在於動差生成函數唯一決定機率密度函數 (見“動差生成函數 (上)”)。下面先介紹標準多變量常態分布,隨後通過仿射變換 (affine transformation) 推廣至一般多變量常態分布。

Posted in 機率統計 | Tagged , , , , , , , , , | Leave a comment

Hermitian 矩陣乘積的性質

本文的閱讀等級:高級 在線性代數理論與應用中,Hermitian 矩陣可謂最重要的一種特殊矩陣。若一 階矩陣 滿足 ,我們稱之為 Hermitian,它具備下列美好的性質 (見“Hermitian 特殊矩陣 (9):Hermitian 矩陣”): 的特徵值 必為實數; 有 個完整的單範正交 (orthonormal) 特徵向量,也就是說, 可么正對角化 (unitarily diagonalizable) 為 ,其中 是么正矩陣,,。 對於 Hermitian 矩陣 和 , 與 未必是 Hermitian (除非 和 是可交換矩陣,見定理一)。本文將探討二個 Hermitian 矩陣乘積的一些性質,包括特徵值、跡數 (trace)、可對角化和相似性 ( 是否相似於 )。

Posted in 線性代數專欄, 二次型 | Tagged , , , , , , | Leave a comment