Tag Archives: 正定矩陣

答張盛東──關於三個半正定矩陣積的二次型為零的問題

網友張盛東留言: 老師,請教一個問題。已知 為實對稱半正定 (positive semidefinite) 矩陣,證明:對任意實向量 ,如果二次型 ,則 。這題我想很久都找不到思緒,希望老師指點一下。

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利用 Bareiss 算法判別正定矩陣

本文的閱讀等級:中級 若 為一 階實對稱矩陣且任一 維非零實向量 滿足 ,則 稱為正定矩陣 (見“特殊矩陣 (6):正定矩陣”)。如果 為一 Hermitian 複矩陣,將上述實向量改成複向量,轉置 替換為共軛轉置 即可。正定矩陣有多種判別方式,當下列任一條件成立時, 是正定矩陣 (見“正定矩陣的性質與判別方法”): 的特徵值皆為正數; 的軸元 (pivot) 皆為正數; 的領先主子陣 (leading principal submatrix) 的行列式皆為正數; 可分解為 ,其中 是一可逆矩陣。 本文介紹一個基於領先主子陣的行列式的正定矩陣判別法,稱為 Bareiss 算法[1]。在開始討論前,我們先說明本文所使用的子陣表達記號。令 代表 階矩陣 的一個 階子陣,其中 是列 (row) 指標集合, 是行 … Continue reading

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費雪不等式

本文的閱讀等級:中級 英國統計學家、演化生物學家與遺傳學家費雪 (Ronald Fisher) 是現代統計學的創建者之一。今天我們使用的許多統計方法,例如,變異數分析 (方差分析,簡稱ANOVA)、最大似然估計與費雪線性判別等,都是他的發明貢獻。本文要探討的主題是在實驗設計時碰到的一個組合數學問題。考慮包含 個元素的集合 。令 為 的 個相異非空子集合。令 代表一集合 的基數 (cardinal number),即所包含的元素個數。 費雪不等式:若所有的 滿足 ,則 。 費雪的原始論文以組合數學解釋[1],本文討論多種線性代數證法,使用的基本工具包括矩陣秩、行列式、特徵值、線性獨立與正定 (類似應用見“有限體與模算術”)。

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線性代數在數值分析的應用 (二):Dirichlet 問題

本文的閱讀等級:中級 在物理學中,等方向均勻介質的一點的溫度變化由熱傳導方程 (heat equation) 所描述[1]: , 其中 是點 於時間 的溫度, 是一正數,稱為熱擴散率 (thermal diffusivity), 是 Laplace 算子 (或稱 Laplacian),定義如下: 。 淺白地說,Laplace 算子度量一點的函數值與其鄰近點的差異。若點 處於穩態,即該點溫度不隨時間改變,則 滿足 Laplace 方程 。如果二階連續可導函數 ( 為一開集) 滿足 Laplace 方程,我們稱之為調和函數 (harmonic function)。本文將探討簡化後的二維 Dirichlet 問題[2]:尋找一調和函數 ,使其在一正方形區域內所有點皆滿足 ,且邊界滿足給定條件 。

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每週問題 July 15, 2013

這是關於 Hermitian 矩陣同時可對角化的問題。 Let and be Hermitian matrices. If is positive definite, show that there exists an invertible matrix such that and , where is a diagonal matrix.

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每週問題 January 21, 2013

這是關於正定矩陣的判定問題。 Give an example of a real matrix all of whose determinants of principal submatrices and eigenvalues are positive, the matrix, however, is not positive definite.

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共變異數矩陣與常態分布

本文的閱讀等級:中級 常態分布 (normal distribution),也稱高斯分布 (Gaussian distribution),其機率密度函數為 , 其中 是平均數 (mean), 是變異數 (variance)。對於 ,多變量常態分布的形式如下 (見“ 多變量常態分布”): , 其中 是平均數向量, 是 階共變異數矩陣 (covariance matrix), 是 的行列式。常態分布是一種應用相當廣泛的連續型機率分布,原因之一是大自然產生的變數經常具有常態分布,譬如,某城市成年男子的身高,某田地產出的蘿蔔重量;另外,對於從母體隨機抽取出的樣本,當樣本數增大時,樣本平均數的分布逼近常態分布[1] (見“ 樣本平均數、變異數和共變異數”)。圖1為 的一個常態分布樣本。本文從線性代數觀點探討常態分布與共變異數矩陣的幾何涵義。

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半正定矩陣的判別方法

本文的閱讀等級:中級 令 為一個 階實對稱矩陣。若任一非零向量 使得二次型 ,我們稱 是正定 (positive definite) 矩陣 (見“特殊矩陣 (6):正定矩陣”)。若任一 皆滿足 ,則 稱為半正定 (positive semidefinite) 矩陣。本文介紹半正定矩陣的一些判別方法。如欲將本文內容推廣至 Hermitian 複矩陣,僅須將實數系 替換為複數系 ,並且將轉置 替換為共軛轉置 即可。

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答謝一誠──關於判斷正定、負定或未定二次型的問題

網友謝一誠留言: 老師您好,我想請問周老師,關於Quadratic Forms的定理。在 Elementary Linear Algebra (作者Howard Anton,Chris Rorres,第9版,2005),書中Exercise set 9.5 (page 486): 11. In each part, classify the quadratic form as positive definite, positive semidefinite, negative definite, negative semidefinite, or indefinite. (f) 方法一:用此書中定理9.5.2 (page 482) A symmetric matrix is … Continue reading

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答陳威丞──關於半正定矩陣的一個證明問題

網友陳威丞留言: 老師我是某校經濟系的學生,有一題題目在我的能力範圍外,可以請老師有空幫我解題亦或是跟我說一下需要用的什麼定理好讓我有個方向嗎? 設 和 之逆矩陣存在,若 為半正定且 ,,則試證 亦為半正定矩陣 (見“特殊矩陣 (6):正定矩陣”)。

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