Tag Archives: 正規矩陣

每週問題 March 20, 2017

證明 為正規矩陣 (normal matrix) 是一個充分條件。 Let and be normal matrices such that , where denotes the column space of . Prove that is a normal matrix. Note that is a normal matrix if . Advertisements

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每週問題 March 13, 2017

任一正規矩陣 (normal matrix) 可表示為一個正規矩陣的平方。 Let be a normal matrix, i.e., . Prove that there exists a normal matrix such that .

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每週問題 February 8, 2016

關於兩個正規矩陣之積為正規矩陣的一個充分條件。 Let and be normal matrices. If is normal, show that is normal.

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每週問題 February 1, 2016

這是廣義化正規可交換矩陣問題。 Let and be normal matrices. If , show that .

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正規矩陣的等價條件

本文的閱讀等級:高級 令 為一個 階矩陣。若 ,也就是說 和 可交換,則 稱為正規矩陣 (normal matrix)。例如,實對稱矩陣 、Hermitian 矩陣 、反共軛對稱矩陣 ,以及么正 (unitary) 矩陣 皆為正規矩陣 (見“特殊矩陣 (2):正規矩陣”)。目前已知的正規矩陣等價條件大約有 90 個[1],其中很多條件引用的概念相近,另有少許冷僻艱澀。本文挑選 25 個 (文獻[2]列舉出 70 個) 有關於特徵值、特徵向量、奇異值、跡數、範數、二次型、可交換、不變子空間 (invariant subspace)、正定、譜分解 (spectral decomposition),以及極分解 (polar decomposition) 等較具代表性的等價條件,並給出證明 (部分已刊登的證明僅提供連結)。

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每週問題 September 7, 2015

這是正規矩陣的一個充要條件證明問題。 Prove that is a normal matrix if and only if , where is a unitary matrix.

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每週問題 August 31, 2015

這是關於正規可交換矩陣的問題。 If and are normal matrices and , show that , , and is a normal matrix.

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每週問題 July 13, 2015

這是運用正規矩陣的一個證明問題。 Let be an nonsingular matrix such that for some . Show that .

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每週問題 June 15, 2015

這是正規矩陣 (normal matrix) 的界定問題:若 的任一特徵向量是 的特徵向量,則 是正規矩陣,反之亦然。 Let be an matrix. Show that is normal if and only if any eigenvector of is an eigenvector of .

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答Eden──關於么正矩陣的冪

網友Eden留言: 老師您好,最近因為研究上發現 unitary 矩陣的一個現象:假設 為一個 的 unitary 矩陣, 的 次方 ( 為某個 的倍數) 必定會變成單位矩陣。自己一直從 unitary 的特徵值 (特徵值大小都會是1) 變化去思考,但目前還是只知道次方項 會是 的倍數,想了解 和 之間的確切關係。不知道老師對我提的問題是否清楚,方便給點提示或是思考方向之類的嗎?

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