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反證法與逆否命題法

本文的閱讀等級:中級 英國數學家哈代 (G. H. Hardy) 說[1]:「歐幾里得喜好的歸謬法 (reductio ad absurdum) 是數學家最精良的武器之一。它比起棋手所用的任何戰術還要好:棋手可能需要犧牲一個卒子或其他棋子,但數學家提供整個遊戲。」歸謬法是一種間接論證方式,先假設某個命題不成立,然後推理出矛盾、不符合已知的事實或荒謬的結果,從而論斷該命題成立。在命題易於作否定陳述,假設條件僅提供少量訊息,或缺乏明確的直接證明思路時,歸謬法便可派上用場。反證法 (proof by contradiction) 是狹義的歸謬法,兩者的差別在於反證法只限於推理出邏輯上矛盾的結果。因此,反證法經常應用於證明數學定理。具體地說,我們要證明一個陳述「若 則 」,記為 ,其中 是條件, 是命題,也就是說, 是 的一個充分條件, 是 的一個必要條件。反證法假定 與 (非 ) 同時成立,然後設法推論出 。但 是某個已知的事實或條件,這樣就得到一個矛盾 。在反證法中, 可以是 ,,或其他已知的事實或條件。如果 ,反證法要證明 ,即 。如果 ,反證法要證明 。 Advertisements

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