Tag Archives: 特徵值指標

矩陣與特徵值的指標

本文的閱讀等級:中級 在線性代數中,一 階複矩陣 可以視為線性算子 (linear operator),。線性算子 的值域是矩陣 的行空間,記作 ;線性算子 的核是矩陣 的零空間,記作 (見“線性變換與矩陣的用語比較”)。若 是一可逆矩陣,則 且 ,其中 。若 是不可逆矩陣,則 未能充滿整個 而且 包含非零向量,[1] 且 。秩─零度定理聲明矩陣的秩 (rank) 與零度 (nullity) 之和等於線性算子的定義域的維數 (見“運用輸入輸出模型活化秩─零度定理”): , 其中 ,。另一方面,容斥定理闡明兩個子空間與子空間和以及子空間交集的維數關係 (見“補子空間與直和”)。容斥定理套用至行空間 與零空間 ,如下: 。 因此,,可以推論 同義於 。這個時候,在向量空間 , 是 的一個補子空間,反之亦然,記作 … Continue reading

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Jordan 分塊

本文的閱讀等級:中級 在線性代數中,所謂「相似家族」是指其中成員矩陣彼此具有相似關係。具體地說,若 和 同屬一個「相似家族」,即 相似於 ,則存在一可逆矩陣 使得 。相似是一種等價關係,相似變換下的不變性質包括:特徵多項式、最小多項式、特徵值、行列式、跡數、矩陣秩,以及 Jordan 典型形式 (見“相似變換下的不變性”)。Jordan 形式因創造人法國數學家約當 (Camille Jordan) 而得名。Jordan 分塊為一上三角矩陣,其中主對角元是相同常數,設為 ,主對角上標元 (superdiagonal) 都等於 ,其上的所有元為零,如下所示: 。 Jordan 矩陣是由 Jordan 分塊構成的分塊對角矩陣,或者說 Jordan 矩陣是 Jordan 分塊的直和 (direct sum),如下例: 。 Jordan 形式定理表明任一 階矩陣 必可表示為 Jordan 典型形式 (或稱 Jordan … Continue reading

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Jordan 形式大解讀之尋找廣義特徵向量

本文的閱讀等級:高級 令 為一 階矩陣。我們曾經在“Jordan 形式大解讀(下)”發展了一個 Jordan 形式演算法,得到 Jordan 矩陣 與可逆矩陣 並使 ,簡述於下: 求出 的所有相異特徵值 ,,特徵值 的代數重數 ,以及幾何重數 。 針對每一相異特徵值 ,找出 階超級 Jordan 分塊 ,它包含 個基本 Jordan 分塊,所有的 的直和即為 Jordan 矩陣 。 對於 的每個相異特徵值 ,根據步驟 (2) 得到的超級 Jordan 分塊 ,解出對應各基本 Jordan … Continue reading

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最小多項式 (下)

本文的閱讀等級:中級 給定一方陣 ,若多項式 滿足 ,我們稱 為 的消滅多項式。前文“最小多項式 (上)”說明了最小多項式 是 的所有消滅多項式中次數最小者。本文進一步討論最小多項式 與矩陣 的 Jordan 形式的關係,此結果提供了由最小多項式形式判斷 是否為可對角化矩陣的簡便方法。(對 Jordan 典型形式陌生的讀者,建議先閱讀“Jordan 形式大解讀 (上)”。)

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Jordan 形式大解讀 (上)

本文的閱讀等級:高級 給定兩個同階方陣 和 ,如何判斷 是否相似於 ?理論上,我們可以根據相似矩陣的定義來判定:若存在一個可逆矩陣 使得 ,則 相似於 。對於 階矩陣 和 ,相似關係 給出一個包含 個未知數 ( 的所有元) 的線性方程,很明顯,直接解 矩陣絕不是一個理想的方法。相似矩陣擁有許多不變性質,例如,特徵多項式、特徵值、行列式、跡數,與矩陣秩 (詳見“相似變換下的不變性質”),然而這些性質都不足以構成相似關係的充要條件。在“如何檢查兩矩陣是否相似”一文,我們曾經以特徵值和可對角化兩性質嘗試回答此問題,但並未獲得完整的結論。判斷兩個方陣是否相似的終極方法是檢查它們的 Jordan 形式 (Jordan form):若 和 有相同的 Jordan 形式,則 相似於 ,相反方向的論述也成立 (參閱“Jordan 典型形式淺說(上)”)。

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拒絕行列式的特徵分析

本文的閱讀等級:高級 美國詩人佛洛斯特 (Robert Frost) 最常被吟誦的一首詩大概是〈未擇之路〉(The road not taken)。這首詩意境優美,淺白詩句底下蘊含人生省思,全詩分四段,這是第一段[1]: Two roads diverged in a yellow wood, And sorry I could not travel both And be one traveler, long I stood And looked down one as far as I could To where … Continue reading

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