Tag Archives: 特徵值指標

本文的閱讀等級：中級 在線性代數中，所謂「相似家族」是指其中成員矩陣彼此具有相似關係。具體地說，若 和 同屬一個「相似家族」，即 相似於 ，則存在一可逆矩陣 使得 。相似是一種等價關係，相似變換下的不變性質包括：特徵多項式、最小多項式、特徵值、行列式、跡數、矩陣秩，以及 Jordan 典型形式 (見“相似變換下的不變性”)。Jordan 形式因創造人法國數學家約當 (Camille Jordan) 而得名。Jordan 分塊為一上三角矩陣，其中主對角元是相同常數，設為 ，主對角上標元 (superdiagonal) 都等於 ，其上的所有元為零，如下所示： 。 Jordan 矩陣是由 Jordan 分塊構成的分塊對角矩陣，或者說 Jordan 矩陣是 Jordan 分塊的直和 (direct sum)，如下例： 。 Jordan 形式定理表明任一 階矩陣 必可表示為 Jordan 典型形式 (或稱 Jordan … Continue reading →

本文的閱讀等級：高級 令 為一 階矩陣。我們曾經在“Jordan 形式大解讀(下)”發展了一個 Jordan 形式演算法，得到 Jordan 矩陣 與可逆矩陣 並使 ，簡述於下： 求出 的所有相異特徵值 ，，特徵值 的代數重數 ，以及幾何重數 。 針對每一相異特徵值 ，找出 階超級 Jordan 分塊 ，它包含 個基本 Jordan 分塊，所有的 的直和即為 Jordan 矩陣 。 對於 的每個相異特徵值 ，根據步驟 (2) 得到的超級 Jordan 分塊 ，解出對應各基本 Jordan … Continue reading →

本文的閱讀等級：中級 給定一方陣 ，若多項式 滿足 ，我們稱 為 的消滅多項式。前文“最小多項式 (上)”說明了最小多項式 是 的所有消滅多項式中次數最小者。本文進一步討論最小多項式 與矩陣 的 Jordan 形式的關係，此結果提供了由最小多項式形式判斷 是否為可對角化矩陣的簡便方法。(對 Jordan 典型形式陌生的讀者，建議先閱讀“Jordan 形式大解讀 (上)”。)

本文的閱讀等級：高級 給定兩個同階方陣 和 ，如何判斷 是否相似於 ？理論上，我們可以根據相似矩陣的定義來判定：若存在一個可逆矩陣 使得 ，則 相似於 。對於 階矩陣 和 ，相似關係 給出一個包含 個未知數 ( 的所有元) 的線性方程，很明顯，直接解出 矩陣不是一個理想的方法。相似矩陣擁有許多的不變性質，譬如，特徵多項式、特徵值、行列式、跡數，與矩陣秩 (詳見“相似變換下的不變性質”)，然而這些性質都不足以構成相似關係的充要條件。在“如何檢查兩矩陣是否相似”一文，我們曾經以特徵值和可對角化兩個性質嘗試回答此問題，但未得到完整的結論。判斷兩個方陣是否相似的終極方法是檢查它們的 Jordan 形式 (Jordan form)：若 和 有相同的 Jordan 形式，則 相似於 ，相反方向的論述也成立 (參閱“Jordan 典型形式淺說(上)”)。