Tag Archives: 特徵值擾動

偽譜分析

本文的閱讀等級:高級 令 為一 階矩陣。矩陣 的特徵值形成的集合稱為矩陣譜 (spectrum),記為 。現實應用中矩陣難免引入擾動,我們非常關心特徵值會有多大的變異,其中一部分固然來自擾動的直接衝擊,另一部分則取決於矩陣的固有性質。正規矩陣 的標記是 和 滿足交換律 ,並擁有一個令人稱頌的性質:可么正對角化,意思是 可分解為 ,其中 ,,且 是么正 (unitary) 矩陣, (見“特殊矩陣 (2):正規矩陣”)。因為這個特性,正規矩陣特徵值的變化上界完全由擾動決定,所以相對不敏感。然而,對於非正規矩陣,縱使微小的擾動也可能引發特徵值的巨大改變 (見“特徵值的擾動分析”)。見下例: 。 矩陣 有重複的特徵值 ,但僅有一個線性獨立的特徵向量,因此不可對角化,自然是非正規矩陣。設微擾矩陣 的元 是一極小的正數。矩陣 有相異特徵值 ,但仍非正規矩陣。考慮一般情況,為了探討 的特徵值受到微擾矩陣 的影響,在 的前提下,我們可以隨意設定 ,然後觀察收集 的特徵值。這個思想實驗的結果稱為矩陣 的偽譜 (pseudospectrum),有下列三種等價的表達式: 明顯地,當 ,偽譜 收斂至矩陣譜 。本文將證明這三種表達是等價的,並介紹幾個偽譜的性質 (取自[1,2])。

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Courant-Fischer 定理的應用

本文的閱讀等級:高級 Courant-Fischer 定理是“Hermitian 矩陣特徵值的變化界定”一文的主要結果,此定理說明了如何利用最小-最大原則或最大-最小原則推得 Hermitian 矩陣的特徵值,所以也稱作最小-最大 (min-max) 定理。本文介紹 Courant-Fischer 定理的兩個應用:Weyl 定理與Cauchy 交錯特徵值定理。為方便參照,首先回顧 Courant-Fischer 定理。

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