Tag Archives: 特徵值

反對角矩陣的特徵值

Posted on 05/16/2016 by ccjou

本文的閱讀等級：初級 令 為一個 階反對角矩陣 (anti-diagonal matrix)。例如，若 ， 。 如果不解出特徵多項式 的根，反對角矩陣是否有更快捷的特徵值算法？通過基底變換，我們可以設法使 的 個反主對角元「集中」於主對角線附近，精確地說， 相似於一個分塊對角矩陣。

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每週問題 February 22, 2016

Posted on 02/22/2016 by ccjou

改變三個矩陣乘積順序，特徵值是否改變？ Let , , and be matrices. (a) Is it true that , , and have the same eigenvalues? (b) Is it true that and have the same eigenvalues?

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每週問題 January 4, 2016

Posted on 01/04/2016 by ccjou

計算可交換矩陣構成的分塊矩陣的特徵值。 Let and be matrix. If , find the eigenvalues of .

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每週問題 December 28, 2015

Posted on 12/28/2015 by ccjou

計算 的特徵值。 Let be an matrix. Find the eigenvalues of in terms of those of .

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每週問題 December 21, 2015

Posted on 12/21/2015 by ccjou

這是計算一線性變換的特徵值與特徵向量。 Let be an matrix, and be the linear transformation defined by . For , find the eigenvalues and corresponding eigenvectors of .

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特徵值的代數重數與幾何重數

Posted on 11/19/2015 by ccjou

本文的閱讀等級：中級 令 為一個 階矩陣 (或稱方陣)。若存在一個非零向量 使得 ，則稱 是 的一個特徵值， 是對應 的特徵向量。將上式改寫為 ，即知 矩陣的零空間 (nullspace) 包含非零向量，也稱為對應 的特徵空間，記作 。所以， 是不可逆的，亦即 ，於是我們定義方陣 的特徵多項式為 ，特徵值 即為 的根。假設 有 () 個相異特徵值 ，特徵多項式可分解為 ， 其中特徵值 的重根數 稱為代數重數 (algebraic multiplicity)。顯然， 次多項式 有 個根 (包含重根)，可知 。特徵空間 的維數 稱為 … Continue reading →

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每週問題 September 28, 2015

Posted on 09/28/2015 by ccjou

證明方陣 的一個不變子空間中存在一特徵向量。 Let be an matrix. If is an invariant subspace of , i.e., for every , show that there exists a nonzero vector in such that .

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每週問題 August 17, 2015

Posted on 08/17/2015 by ccjou

若 ，則 的特徵值全為零。 Let and be matrices. If , show that all eigenvalues of are zero.

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利用 Vandermonde 矩陣證明相異特徵值對應線性獨立的特徵向量

Posted on 06/03/2015 by ccjou

本文的閱讀等級：初級 令 為一 階矩陣， 為特徵值 (包含相重特徵值)， 為對應的特徵向量，即有 ，。本文介紹如何利用 Vandermonde 矩陣證明對應相異特徵值的特徵向量組成一線性獨立集。(此證法源於網友 Meiyue Shao 對“相異特徵值對應線性獨立的特徵向量之簡易證明”的回應。)

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相異特徵值對應線性獨立的特徵向量之簡易證明

Posted on 05/21/2015 by ccjou

本文的閱讀等級：初級 令 為一個 階矩陣， 為特徵值， 為對應的特徵向量。本文證明這個重要的定理：對應相異特徵值的特徵向量組成一個線性獨立集。(其他證法見“可對角化矩陣與缺陷矩陣的判定”，“每週問題 June 11, 2012”，“利用 Vandermonde 矩陣證明相異特徵值對應線性獨立的特徵向量”。) 例如， 有特徵值 ，對應特徵向量 ，以及特徵值 (代數重數為 )，對應特徵向量 和 (幾何重數為 )。根據上述性質， 和 都是線性獨立集。

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