Tag Archives: 特徵值

反對角矩陣的特徵值

本文的閱讀等級:初級 令 為一個 階反對角矩陣 (anti-diagonal matrix)。例如,若 , 。 如果不解出特徵多項式 的根,反對角矩陣是否有更快捷的特徵值算法?通過基底變換,我們可以設法使 的 個反主對角元「集中」於主對角線附近,精確地說, 相似於一個分塊對角矩陣。 Advertisements

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每週問題 February 22, 2016

改變三個矩陣乘積順序,特徵值是否改變? Let , , and be matrices. (a) Is it true that , , and have the same eigenvalues? (b) Is it true that and have the same eigenvalues?

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每週問題 January 4, 2016

計算可交換矩陣構成的分塊矩陣的特徵值。 Let and be matrix. If , find the eigenvalues of .

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每週問題 December 28, 2015

計算 的特徵值。 Let be an matrix. Find the eigenvalues of in terms of those of .

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每週問題 December 21, 2015

這是計算一線性變換的特徵值與特徵向量。 Let be an matrix, and be the linear transformation defined by . For , find the eigenvalues and corresponding eigenvectors of .

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特徵值的代數重數與幾何重數

本文的閱讀等級:中級 令 為一個 階矩陣。若存在一個非零向量 使得 ,我們稱 是 的一個特徵值, 是對應 的特徵向量。將上式寫為 ,可知 的零空間 (nullspace,也稱為對應 的特徵空間) 包含非零向量,故 是不可逆的,也就是說 。因此,我們定義 的特徵多項式為 ,特徵值 即為 的根。若 有 個相異特徵值 ,,特徵多項式可分解如下: , 其中特徵值 的重根數 稱為代數重數 (algebraic multiplicity)。因為 次多項式 有 個根 (包含重根),。特徵空間 的維數,,稱為 的幾何重數 (geometric multiplicity),也就是對應 的最大線性獨立的特徵向量數。以上是多數線性代數教科書採用的定義,其實代數重數還有另一個較為罕見的定義方式:特徵值 的代數重數等於 … Continue reading

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每週問題 September 28, 2015

證明方陣 的一個不變子空間中存在一特徵向量。 Let be an matrix. If is an invariant subspace of , i.e., for every , show that there exists a nonzero vector in such that .

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每週問題 August 17, 2015

若 ,則 的特徵值全為零。 Let and be matrices. If , show that all eigenvalues of are zero.

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利用 Vandermonde 矩陣證明相異特徵值對應線性獨立的特徵向量

本文的閱讀等級:初級 令 為一 階矩陣, 為特徵值 (包含相重特徵值), 為對應的特徵向量,即有 ,。本文介紹如何利用 Vandermonde 矩陣證明對應相異特徵值的特徵向量組成一線性獨立集。(此證法源於網友 Meiyue Shao 對“相異特徵值對應線性獨立的特徵向量之簡易證明”的回應。)

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相異特徵值對應線性獨立的特徵向量之簡易證明

本文的閱讀等級:初級 令 為一個 階矩陣, 為特徵值, 為對應的特徵向量。本文證明這個重要的定理:對應相異特徵值的特徵向量組成一個線性獨立集。(其他證法見“可對角化矩陣與缺陷矩陣的判定”,“每週問題 June 11, 2012”,“利用 Vandermonde 矩陣證明相異特徵值對應線性獨立的特徵向量”。) 例如, 有特徵值 ,對應特徵向量 ,以及特徵值 (代數重數為 ),對應特徵向量 和 (幾何重數為 )。根據上述性質, 和 都是線性獨立集。

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