Tag Archives: 特徵值

每週問題 April 13, 2015

方陣的特徵值積與奇異值積有何關係? Let be an matrix. Show that , where and are the eigenvalues and singular values of , respectively.

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每週問題 December 1, 2014

本週問題是計算一棋盤狀特殊矩陣的特徵多項式。 Let be an matrix, in which if is even, and if is odd. For , find the eigenvalues of .

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每週問題 November 17, 2014

證明正規矩陣 (normal matrix) 的特徵值平方和等於所有元的平方和。 Let be an matrix. If is normal, i.e., , show that .

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每週問題 August 25, 2014

這是關於矩陣積 和 的特徵值與特徵向量問題,及對角化問題。 Let and be matrices. Which of the following statements are true? (a) If and are real symmetric matrices, then and must have the same eigenvalues. (b) If is invertible, then and must have the same eigenvalues. (c) … Continue reading

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每週問題 July 28, 2014

這是從特徵值推論矩陣性質的問題,修改自“台聯大2013年碩士班招生考試試題 (電機類工程數學C)”。 Consider a real matrix with three different eigenvalues . Which of the following statements are true? (a) The determinant of is . (b) There are three linearly independent eigenvectors. (c) The rank of is . (d) The trace … Continue reading

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每週問題 June 30, 2014

這是揉合特徵值、特徵向量、線性方程和正交投影的問題,取自“台聯大2014年碩士班招生考試試題 (電機類工程數學D)”的部分試題。 Let and . (a) Find the general solution (also called the complete solution) of . (b) Find the distance from to the row space of .

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每週問題 June 9, 2014

這是計算四階矩陣的特徵值的交互乘積 的問題,取自“2013年台大資工所碩士班招生考試試題”。 Let If are eigenvalues of , determine .

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九宮圖的逆矩陣

本文的閱讀等級:初級 九宮圖 (Lo Shu square),又稱洛書,即三階幻方 (magic square)。南宋楊輝《續古摘奇演算法》記載三階幻方的構造法:「九子斜排,上下對易,左右相更,四維挺出,戴九履一,左三右七,二四為肩,六八為足[1]」。九宮圖的陣列表示如下: 所謂 階幻方是指 個相異的數字排列成 階陣列形式,其中每一列、行[2]、主對角線與反主對角線 (anti-diagonal) 上的數字和皆等於 ,稱為幻方常數 (magic constant)。如果限定組合數字為連續正整數 ,則稱之為自然幻方,其幻方常數由階數 決定。因為 階自然幻方的數字總和 均分給 個列,可知 。九宮圖是一個三階自然幻方,幻方常數為 。如果將九宮圖視為 階矩陣 ,可以算出 ,逆矩陣為 (見“三階逆矩陣公式”) 。 令人訝異的是,九宮圖的逆矩陣也是一個幻方 (但非自然幻方),幻方常數恰為 。下面我們利用矩陣運算來證明這個有趣的性質。

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每週問題 May 12, 2014

這是從矩陣跡數計算行列式的問題。 Let be a matrix. It is known that and . Determine the determinant of .

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每週問題 March 31, 2014

這是證明半正定矩陣和 Hermitian 矩陣乘積的特徵值必為實數。 Let and be Hermitian matrices. Prove that following statements. (a) If or is positive semidefinite, then all the eigenvalues of are real. (b) If and are positive semidefinite, then all the eigenvalues of are nonnegative.

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