Tag Archives: 特徵多項式

Cayley-Hamilton 定理的一個錯誤「證明」

Posted on 05/20/2016 by ccjou

本文的閱讀等級：初級 在線性代數中，Cayley-Hamilton 定理可謂最令學者感到驚奇的定理之一：任一 階矩陣 的特徵多項式 消滅 ，即 ， 是零矩陣。以 為例， 的特徵多項式為 Cayley-Hamilton 定理宣稱 。

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每週問題 December 8, 2014

Posted on 12/08/2014 by ccjou

計算 Leslie 矩陣的特徵多項式。 The Leslie matrix is of the form . Show that the characteristic polynomial of is .

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每週問題 September 22, 2014

Posted on 09/22/2014 by ccjou

這是從特徵多項式判斷行列式的問題。 Find given that has as its characteristic polynomial. (a) (b)

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每週問題 June 9, 2014

Posted on 06/09/2014 by ccjou

這是計算四階矩陣的特徵值的交互乘積 的問題，取自“2013年台大資工所碩士班招生考試試題”。 Let If are eigenvalues of , determine .

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Krylov 子空間法

Posted on 01/15/2014 by ccjou

本文的閱讀等級：中級 令 為一 階複矩陣， 為一 維非零向量。1931年，俄國應用數學家、海軍工程師克雷洛夫 (Aleksey Krylov) 提出一個創新的想法[1]：運用向量序列 ，稱為 Krylov 序列，計算 的特徵多項式。Krylov 序列的擴張稱為 Krylov 子空間 (或循環子空間)，記為 。 明顯地， 是 的一個子空間，故必存在最小正整數 使得 可表示為 的線性組合。如果 ， 定義 次多項式 。 因為 ，我們說 是 相對於 的消滅多項式 (annihilating polynomial)。運用類似最小多項式 (minimal polynomial) 的論證方式可證明 (見“最小多項式 (上)”)：給定任何矩陣—向量對 … Continue reading →

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窮人的多項式求根法

Posted on 12/05/2013 by ccjou

本文的閱讀等級：初級 給定三次多項式 ， 如何求得 的三個根？你可以購買一套商用數學軟體或使用校園授權軟體 (費用已經隱藏在繳交的學費中)。例如，MATLAB，輸入兩個指令：     p = [1 -6 -72 -27];     r = roots(p) 馬上就得到答案：     r =           12.1229           -5.7345           -0.3884 如果你近來阮囊羞澀或無法取得校園授權軟體，是否還有其他不用花錢的便捷方法？易經曰：「窮則變，變則通，通則久。」下面我介紹一個窮人的多項式求根法。首先我們要備妥一個免費的矩陣特徵值計算程式，譬如，具有多種功能的線上矩陣計算器 Online Matrix Calculator。在主畫面視窗鍵入三次多項式 的 階相伴 (companion) 矩陣 ， 勾選 Eigenvalues/eigenvectors，按下 Calculate，可得三個特徵值，此即為三次多項式 的根。事實上，MATLAB 採用完全相同的多項式求根算法[1]。有錢或沒錢的差別待遇往往僅在於外表包裝不同而已。

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矩陣相似於其逆的充要條件

Posted on 12/02/2013 by ccjou

本文的閱讀等級：高級 任一 階矩陣 相似於 (見“矩陣與其轉置的相似性”)。若 是一個實正交矩陣 (orthogonal matrix)，，則 相似於 。我們不免好奇： 相似於 的充分以及必要條件是甚麼？考慮極端的情況：兩個相等的方陣必定相似。若 ，即 ，我們稱之為對合 (involutory) 矩陣 (見“特殊矩陣 (22)：對合矩陣”)。除了對合矩陣，是否還有其他的 相似於 ？二人同心，其利斷金。若 ，其中 和 是對合矩陣，則 ， 即知 相似於 。兩個對合矩陣的乘積不僅是矩陣相似於其逆的充分條件，也是必要條件。反向論證較為複雜，本文運用兩種特殊型態矩陣──Jordan 分塊和相伴 (companion) 矩陣──證明：若 相似於 ，則存在對合矩陣 和 使得 。

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每週問題 December 2, 2013

Posted on 12/02/2013 by ccjou

若一矩陣的所有特徵值皆等於 ，則此矩陣相似於其逆矩陣。 Let be an matrix with characteristic polynomial . Show that is similar to its inverse.

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答r2123b──關於矩陣與遞迴關係式的特徵多項式

Posted on 10/25/2013 by ccjou

網友r2123b留言： 老師：請問線代的特徵多項式 跟求解遞迴方程式 ，，的 時所用的特徵多項式有什麼關聯嗎？為什麼都叫特徵多項式？

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半正定矩陣的判別方法

Posted on 01/10/2013 by ccjou

本文的閱讀等級：中級 令 為一個 階實對稱矩陣。若任一向量 使得二次型 ，我們稱 是正定 (positive definite) 矩陣 (見“特殊矩陣 (6)：正定矩陣”)。若任一向量 皆滿足 ，則稱 為半正定 (positive semidefinite) 矩陣。本文介紹幾個半正定矩陣的判別方法。如欲將本文內容推廣至 Hermitian 複矩陣，僅須將實數系 替換為複數系 ，並且將轉置 替換為共軛轉置 即可。

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