Tag Archives: 特解

每週問題 June 6, 2016

Posted on 06/06/2016 by ccjou

若線性方程 是一致的，則 的行空間 (column space) 存在唯一一個解。 Let be an complex matrix. If is consistent for some , prove that there exists a unique solution in the column space of .

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每週問題 May 30, 2016

Posted on 05/30/2016 by ccjou

一個線性方程的解集合所包含的最大線性獨立向量數是多少？ Let be an matrix and be the solution set for a consistent system of linear equations for some . (a) If is a maximal independent subset of and is any particular solution, show that , where denotes the nullspace … Continue reading →

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高斯消去法

Posted on 02/20/2013 by ccjou

本文的閱讀等級：初級 解線性方程組是線性代數處理的核心問題之一。考慮包含 個未知數 的線性方程式 ， 其中係數 與 是給定的純量 (實數或複數)。若線性方程組有 個方程式，則可表示為陣列形式： 線性方程組的解 必須滿足上面 個方程式，也就是說方程組的解是 個方程式各自解的交集。線性方程組的系統化解法最早出現於公元前100年的中國古籍《九章算術》(見“《九章算術》的方程術”)，隨後傳入日本和歐洲。今天，我們稱此算法為高斯消去法或高斯消元法 (Gaussian elimination) 以紀念德國數學家高斯 (Carl Friedrich Gauss) 的廣泛使用故而推廣了這個方法。

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答延伸寸──關於線性方程的通解表達

Posted on 10/15/2012 by ccjou

網友延伸寸留言： 本文 (“仿射組合與仿射空間”) 意猶未竟。要如何利用文中的定理來解答下列 link 的第一題呢？ http://www.lic.nkfust.edu.tw/ezfiles/5/1005/img/791/982131.pdf 我覺得這一題出得很好。計算不難但若觀念不全通(我就是)的同學解起來會很困難。我甚至建議周老師為本題寫一篇通脈文。   答曰： 我將問題抄錄於下：一線性方程的通解可表示為 或 ， 其中 和 是任意參數。求 和 。

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仿射組合與仿射空間

Posted on 09/24/2012 by ccjou

本文的閱讀等級：初級 考慮線性方程 ，所有可能的解稱為通解，具有下列形式： ， 其中特解 是指滿足 的任一解，齊次解 則滿足 。除非齊次解僅包含平凡解 ，否則特解和齊次解皆不唯一，故通解有無窮多種表達式。見下例： 的通解可以表示為 ， 上式中， 是任意實數，改變 數值即產生新的特解 ，齊次解則為 。幾何空間向量可用其端點表示，上例通解 (即所有特解構成的集合) 是 中一不穿越原點的直線，故不為子空間 (任一子空間必定包含原點)。另一方面，所有的齊次解都位於穿越原點的平行直線上，此即 的零空間 (見“Ax=b 和 Ax=0 的解集合有什麼關係？”)。所以，通解與齊次解之間具有點對點的平移關係，而該平移量可以是任一滿足線性方程的特解 。通解、特解和齊次解之間的關係常令學者感到困惑，本文介紹兩個新概念──仿射組合與仿射空間，希望藉此得以釐清特解和齊次解的幾何意義。

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答zonelin──關於特徵方程與矩陣基本子空間的關係

Posted on 06/06/2012 by ccjou

網友zonelin留言： 周老師您好：在Linear Algebra Problem Set 9 2009裡面的第五題(b)，請問 particular solution 是如何算出來的？eigenvalue 和解的關係為何？若 有解，則 落在 的行空間中， 則是 particular solution 和 homogeneous solution 相加，那 particular solution 落在 轉置後的行空間中，那我想請問，若 ， 是落在 轉置後的行空間中還是 的行空間中？在矩陣四個空間的圖像上要如何解釋。謝謝~   答曰： 這個練習題選自 Gilbert Strang 所著 Introduction to Linear Algebra (2003) … Continue reading →

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每週問題 May 4, 2009

Posted on 05/04/2009 by ccjou

本週問題是利用列空間和零空間的正交關係來討論方程式 Ax = b 通解的分解問題，並證明屬於列空間的特解有最小的長度，稱為極小範數解。 點選問題↓ Pow-May-4-09 解答↓ PowSol-May-4-09

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