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條件機率與貝氏定理

本文的閱讀等級:初級 假設有兩個甕,第一個甕裡面有3顆紅球,第二個甕裡面有2顆紅球和1顆白球。我們隨機選擇一個甕,然後從中抽出2顆球。假設結果是2顆紅球,留在甕裡的那顆球是紅球的機率有多大? 我們挑選的甕是第一個甕或第二個甕的機率同為 。從甕中抽出了2顆紅球,如果這是第一個甕,留在甕裡的那顆球便是紅球,如果這是第二個甕,留在甕裡的那顆球則是白球,因此推論答案是 。這個推論過程可能符合許多人的直覺,但為了檢驗這條思路的正確性,我們不妨變換問題敘述看看結果如何。假設第一個甕裡面有30顆紅球,第二個甕裡面有20顆紅球和10顆白球。如果從隨機選出的甕中抽出20顆球,結果全部是紅球,你確定留在甕裡的10顆球是紅球的機率仍為 ?前後兩個問題的題幹相似,但我們可能對後面這個問題的答案抱持懷疑,因為從第二個甕中抽出20顆球,剛好都是紅球的機率似乎不大。的確,從第二個甕中抽取出20顆紅球的機率為 , 其中 是二項式係數,即從包含30個元素的集合中選取20個元素的組合數 (見“二項式係數與組合問題”)。數字會說話,現在我們改變心意了。眼前選出的這個甕非常可能是第一個甕,也就是說留在甕裡面的10顆球是紅球的機率接近1。這意味在原先的問題中,甕裡的那顆球是紅球的機率應該大於 。愛因斯坦說:「唯一真正有價值的東西是直覺[1]。」對於機率問題,直覺卻常常給出錯誤的答案。

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