Tag Archives: 直和

每週問題 October 22, 2012

本週問題是證明兩個特殊子空間的直和等於 。 Let be the solution space of and be the solution space of , where , . Show that . Advertisements

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每週問題 September 24, 2012

若 為定義於向量空間 的線性變換,證明存在一正整數 使得 。 Let and be two subspaces of a finite dimensional vector space . The sum is called a direct sum, denoted by , if every element can be uniquely written as , where and . Let … Continue reading

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正交投影矩陣的性質與界定

本文的閱讀等級:高級 正交投影是一個威力強大的變換工具,它最主要的用途在於有效地分解向量空間。我們曾經在“正交投影──威力強大的線代工具”介紹正交投影矩陣的計算方法,並且利用正交投影解決了最小平方近似問題 (見“從線性變換解釋最小平方近似”)。本文欲進一步探討正交投影矩陣的性質和界定條件,並討論兩個正交子空間的正交投影矩陣關係。

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正交補餘與投影定理

本文的閱讀等級:中級 正交補餘 (orthogonal complement) 是內積空間中最具實用價值的概念。我們曾經在“線性代數基本定理(二)”介紹過 階實矩陣 的四個基本子空間的正交補餘:零空間 (nullspace) 是列空間 (row space) 在向量空間 的正交補餘,左零空間 (left nullspace) 是行空間 (column space) 在向量空間 的正交補餘,分別記為 。 本文將正交補餘的討論範圍從幾何向量空間 (或 ) 延伸至一般內積空間 ,隨後解說投影定理 (正交補餘的性質),並給出兩個重要結果──正交分解定理與最佳近似定理。

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商空間 (上)

本文的閱讀等級:中級 令 是向量空間 的一個子空間。若 的任一子空間 滿足 ,即 且 ,其中 ,我們說 是 與 的直和 (direct sum),且 稱為 的補子空間 (或補空間)。在此情況下,每一 皆可唯一分解為 ,其中 , (見“補子空間與直和”)。若 是一個有限維內積空間,則 有唯一的正交補餘 (orthogonal complement),記為 ,上述唯一分解式另外滿足 ,即 。如果 不是內積空間,則不存在自然且唯一的補子空間。本文介紹一個由 與 建構而成的自然且唯一的向量空間,稱為商空間 (quotient space),記作 。不過, 不是 的一個子空間,因此並非 的補子空間。商空間 的主要性質是它與 的每一個補子空間 … Continue reading

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值域—零空間分解

本文的閱讀等級:中級 設 和 為有限維向量空間 的兩個子空間,且 。子空間 和 的直和 (direct sum) 也是一個子空間 (見“補子空間與直和”), 。 如果 ,我們說 和 在向量空間 中互為補子空間 (complementary subspace),並稱 為 的直和分解。有別於一般矩陣分解如 LU 分解、QR 分解,直和分解的作用在於切割向量空間,例如, 的 XY 平面 和 Z 軸 是一個直和分解。明顯地, 或 存在無窮多直和分解。如果給定一 階矩陣 ,如何由 的四個基本子空間衍生具實用價值的直和分解?本文將探討這個問題[1]。以下將向量空間限定於 ,但本文所述內容皆可延伸至 ,惟 必須改為 … Continue reading

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拒絕行列式的特徵分析

本文的閱讀等級:高級 美國詩人佛洛斯特 (Robert Frost) 最常被吟誦的一首詩大概是〈未擇之路〉(The road not taken)。這首詩意境優美,淺白詩句底下蘊含人生省思,全詩分四段,這是第一段[1]: Two roads diverged in a yellow wood, And sorry I could not travel both And be one traveler, long I stood And looked down one as far as I could To where … Continue reading

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直和與投影

本文的閱讀等級:中級 設向量空間 為子空間 與其補空間 的直和,記為 。對於任意向量 ,直和的意義是僅存在唯一方式分解 為 -成分與 -成分之和。“補子空間與直和”曾舉一例,,其中 為一平面, 為平面外的一直線。對於三維空間中的任意向量 ,我們可以想像 就是將向量 沿著與 平行的直線投影至平面 ,見下圖。注意,直線 上的向量至平面 的投影量為零。

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補子空間與直和

本文的閱讀等級:中級 向量空間 中有二個特別的子空間:一是僅包含零向量 的子空間,記為 ,另一個是 自身。通常,我們感興趣的子空間既非 亦非 ,而是介於兩者之間的那些子空間。往下討論之前,先準備必要的記號與定義。設 和 為定義於向量空間 中的二個子空間,表示為 ,。如果向量 屬於子空間 ,則 也屬於 ,這指出任意子空間都包含 ,因此 。令 代表 和 的交集。若 ,我們稱 與 不交集 (disjoint)。

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