Tag Archives: 相伴矩陣

本文的閱讀等級：中級 前文介紹了常係數線性齊次遞迴關係式在特徵多項式有相異根的情況下的兩個線性代數解法 (見“常係數線性遞迴關係式 (上)”)。第一個方法建立於數列形成的無限維向量空間，通過與齊次遞迴關係式的特徵多項式同形式之算子多項式的零空間找出解。然而，當特徵多項式存在重根時，零空間基底的推導過程相當繁複。本文使用第二個方法，以簡潔的矩陣分析解出當特徵多項式存在重根時齊次遞迴關係式的通項表達式。

本文的閱讀等級：中級 因為近代線性代數教科書隻字不提，多數人可能從未聽聞過這個定理：任一實方陣 可分解為兩個實對稱矩陣的乘積 ，其中 是可逆矩陣；類似地，任一複方陣 可分解為兩個複對稱矩陣的乘積 ，其中 是可逆矩陣[1]。對稱矩陣 滿足 ，Hermitian 矩陣 滿足 。對於實矩陣，對稱矩陣等同於 Hermitian 矩陣；對於複矩陣，對稱矩陣不同於 Hermitian 矩陣。方陣的二對稱矩陣分解看似玄妙，但課本都不講述的定理能有甚麼用途呢？莊子曰：「人皆知有用之用，而莫知無用之用也。」按莊子的看法，「有用之用」與「無用之用」的區別在於個人的主觀認知。本文介紹二對稱矩陣分解的動機純粹是為了演練矩陣分析技巧，下面分別就複矩陣和實矩陣說明採行 Jordan 典型形式的建構式證法。至於這個矩陣分解式到底有用抑或無用，暫且不必急著下定論。

本文的閱讀等級：高級 任一 階矩陣 相似於 (見“矩陣與其轉置的相似性”)。若 是一個實正交矩陣 (orthogonal matrix)，，則 相似於 。我們不免好奇： 相似於 的充分以及必要條件是甚麼？考慮極端的情況：兩個相等的方陣必定相似。若 ，即 ，我們稱之為對合 (involutory) 矩陣 (見“特殊矩陣 (22)：對合矩陣”)。除了對合矩陣，是否還有其他的 相似於 ？二人同心，其利斷金。若 ，其中 和 是對合矩陣，則 ， 即知 相似於 。兩個對合矩陣的乘積不僅是矩陣相似於其逆的充分條件，也是必要條件。反向論證較為複雜，本文運用兩種特殊型態矩陣──Jordan 分塊和相伴 (companion) 矩陣──證明：若 相似於 ，則存在對合矩陣 和 使得 。

本文的閱讀等級：中級 設 是一個從向量空間 映至向量空間 的線性變換。若 ，我們稱 為定義於向量空間 的線性算子 (linear operator)。數學家發展出一個研究線性算子的方法，他們想像向量空間 可以分割成一組不交集的子空間 ，精確地說， 為這些不交集子空間的直和 (direct sum，見“補子空間與直和”)： 。 對於任一 ，僅有唯一的 ，，能夠組合出 。為簡約符號，我們以 代表向量 經過 映射後得到的像 。利用線性變換的基本性質，可得 。 上式提示我們一個探索線性算子 的途徑：只要分別探討 在各個子空間 的行為即可對 的行為獲得完整的認識。實際的操作方式是令線性算子 限定於子空間 上，稱為限定算子 (restriction)，記為 。限定算子成立的前提是任一 ，都有 ，即 ，滿足此性質的子空間 稱為 的不變子空間 (invariant … Continue reading →