Tag Archives: 相似

每週問題 March 28, 2016

判定兩個冪零矩陣相似的充要條件。 Let and be nonzero matrices. (a) If , is it true that and are similar if and only if ? (b) If , is it true that and are similar if and only if ? Advertisements

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每週問題 January 25, 2016

證明兩個冪等 (idempotent) 矩陣有相同秩的一個充分條件。 If is an matrix, a vector is said to be a fixed point of if . Let and be idempotent matrices, i.e., and . If the zero vector is the only fixed point of , show that … Continue reading

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每週問題 January 18, 2016

證明兩個冪等 (idempotent) 矩陣相似的一個充要條件是它們有相同的秩。 Let and be idempotent matrices, i.e., and . Show that is similar to if and only if .

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每週問題 July 27, 2015

證明不存在恆定相似變換矩陣使任一矩陣相似於其轉置。 Prove that there is no nonsingular matrix such that for every matrix , .

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AB 相似於 BA 的充要條件

本文的閱讀等級:中級 令 和 為 階矩陣。矩陣乘積 和 有相同的特徵值 (包含相重特徵值),但並不總是相似。例如, 且 ,則 和 的特徵多項式同為 。觀察出 不可對角化而 可對角化,表明 和 不具相似性。本文介紹 相似於 的一個充分與必要條件:,,並討論幾個相似性的判定方式 (充分條件)。

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每週問題 June 8, 2015

矩陣 相似於 等價於 相似於一實矩陣。 Let be an complex matrix. Show that is similar to a real matrix if and only if is similar to .

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每週問題 March 30, 2015

這是證明兩分塊矩陣相似。 Let and be matrices. Show that matrix is similar to matrix , where .

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每週問題 August 18, 2014

這是關於在複數系和實數系的矩陣相似性問題。 Let and be real matrices. Show that if , where is a complex matrix, then there exists a real matrix such that . That is, if two real square matrices are similar over , then they must be similar … Continue reading

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Hermitian 矩陣乘積的性質

本文的閱讀等級:高級 在線性代數理論與應用中,Hermitian 矩陣可謂最重要的一種特殊矩陣。若一 階矩陣 滿足 ,我們稱之為 Hermitian,它具備下列美好的性質 (見“Hermitian 特殊矩陣 (9):Hermitian 矩陣”): 的特徵值 必為實數; 有 個完整的單範正交 (orthonormal) 特徵向量,也就是說, 可么正對角化 (unitarily diagonalizable) 為 ,其中 是么正矩陣,,。 對於 Hermitian 矩陣 和 , 與 未必是 Hermitian (除非 和 是可交換矩陣,見定理一)。本文將探討二個 Hermitian 矩陣乘積的一些性質,包括特徵值、跡數 (trace)、可對角化和相似性 ( 是否相似於 )。

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矩陣相似於其共軛轉置的充要條件

本文的閱讀等級:中級 任一 階複矩陣 相似於其轉置矩陣 (見“矩陣與其轉置的相似性”),但 未必相似於其共軛轉置 (即 ),原因在於它們的特徵值可能相異。例如, 有特徵值 和 , 是虛數單位,但 的特徵值為 和 。矩陣與其共軛轉置是否相似完全由 Jordan 典型形式決定,本篇短文將討論這個主題。

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