Tag Archives: 相似

矩陣相似於其逆的充要條件

本文的閱讀等級:高級 任一 階矩陣 相似於 (見“矩陣與其轉置的相似性”)。若 是一個實正交矩陣 (orthogonal matrix),,則 相似於 。我們不免好奇: 相似於 的充分以及必要條件是甚麼?考慮極端的情況:兩個相等的方陣必定相似。若 ,即 ,我們稱之為對合 (involutory) 矩陣 (見“特殊矩陣 (22):對合矩陣”)。除了對合矩陣,是否還有其他的 相似於 ?二人同心,其利斷金。若 ,其中 和 是對合矩陣,則 , 即知 相似於 。兩個對合矩陣的乘積不僅是矩陣相似於其逆的充分條件,也是必要條件。反向論證較為複雜,本文運用兩種特殊型態矩陣──Jordan 分塊和相伴 (companion) 矩陣──證明:若 相似於 ,則存在對合矩陣 和 使得 。 Advertisements

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每週問題 December 2, 2013

若一矩陣的所有特徵值皆等於 ,則此矩陣相似於其逆矩陣。 Let be an matrix with characteristic polynomial . Show that is similar to its inverse.

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Jordan 分塊

本文的閱讀等級:中級 在線性代數中,所謂「相似家族」是指其中成員矩陣彼此具有相似關係。具體地說,若 和 同屬一個「相似家族」,即 相似於 ,則存在一可逆矩陣 使得 。相似是一種等價關係,相似變換下的不變性質包括:特徵多項式、最小多項式、特徵值、行列式、跡數、矩陣秩,以及 Jordan 典型形式 (見“相似變換下的不變性”)。Jordan 形式因創造人法國數學家約當 (Camille Jordan) 而得名。Jordan 分塊為一上三角矩陣,其中主對角元是相同常數,設為 ,主對角上標元 (superdiagonal) 都等於 ,其上的所有元為零,如下所示: 。 Jordan 矩陣是由 Jordan 分塊構成的分塊對角矩陣,或者說 Jordan 矩陣是 Jordan 分塊的直和 (direct sum),如下例: 。 Jordan 形式定理表明任一 階矩陣 必可表示為 Jordan 典型形式 (或稱 Jordan … Continue reading

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每週問題 August 19, 2013

這是 Jordan 典型形式的相似證明問題。 Let where . Show that is similar to .

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特徵向量是甚麽物,恁麽來?

本文的閱讀等級:初級 《南嶽懷讓禪師傳》記載: 祖問:「甚麽處來?」 曰:「嵩山來。」 祖曰:「甚麽物,恁麽來?」師無語,經八載忽然有悟,乃白祖曰:「某甲有個會處。」 祖曰:「作麽生?」 師曰:「説似一物即不中。」 唐代懷讓禪師為尋訪善知識跑去嵩山謁見惠安國師,惠安指點他參訪曹溪六祖。禮拜畢,六祖問:「你從何處來?」懷讓回:「我從嵩山來。」六祖又問:「你是甚麼東西?怎麼來的?」懷讓當下無言以對,經過八年參究,一天豁然開悟,便對六祖說:「我想通了。」六祖問:「怎麼樣?」懷讓回:「說是甚麼東西都不對。」   特徵向量甚麽處來?問既一般,答亦相似,翻開課本就可以找到答案,定義有兩種版本。 線性變換版:令 為一個向量空間, 是一個線性變換。若非零向量 滿足 ,則 稱為對應特徵值 的特徵向量。 矩陣版:令 為一個 階矩陣。若非零向量 滿足 ,則 稱為對應特徵值 的特徵向量。 若繼續追問:特徵向量是甚麽物,恁麽來?「説似一物即不中」提點我們不要死執一法 (定義),所以何妨「說似多物」,即便亂槍打鳥不中或許亦不遠矣。

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每週問題 June 24, 2013

本週問題是關於 Jordan 典型形式的相似問題。 Let where . Show that is similar to .

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答JERRY──關於相似變換矩陣的解法

網友JERRY留言: 已知 和 是二階方陣,怎麼找 使得 ?   答曰: 我們先舉一些例子看會發生何種情況。若 ,其中 是單位矩陣,則任一可逆矩陣 皆為解,因為 。若 ,則所有非零純量矩陣 ,,皆滿足要求,因為 。如果 使得 ,則對於任何 ,都有 。換句話說,當 是一致時 (即存在解),必有無窮多組解。另一方面, 是否可能無解?是的。例如,,,則 。針對任意二階方陣 和 ,下面介紹兩種 的解法:線性方程與對角化。

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不使用行列式的特徵值和特徵向量算法 (中)

本文的閱讀等級:中級 給定一 階矩陣 ,若 維向量 使得 ,即 ,則 稱為特徵值, 是對應的特徵向量。因為 的零空間包含非零向量,可知 不可逆,所以 。根據此事實,我們定義 的特徵多項式為 ,特徵值 即是 的根。從課堂演習的角度來看,這個基於行列式的特徵值算法的最大缺點在於,當 增大時,自行列式表達 到標準式 往往需要耗費大量的計算 (這解釋了何以多數線性代數教科書僅見 或 階的數值例子)。因為這個緣故,我們將箭頭瞄準不使用行列式的特徵值和特徵向量算法。下面先檢視幾種無須計算即可獲取特徵多項式的特殊形態矩陣,然後設法推導從任意矩陣至特殊形態矩陣的相似變換。

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不使用行列式的特徵值和特徵向量算法 (上)

本文的閱讀等級:中級 一百年前,行列式曾經是一個重要的數學領域。隨著數學發展方向的改變,今天行列式已漸漸遠離線性代數和矩陣理論的中心。但為甚麼絕大多數的近代線性代數教科書仍將行列式納入課程內容?美國數學教授奈林 (Evar D. Nering) 一語道破箇中緣由[1]: 我們介紹行列式理論的一些主題之目的僅為了求一線性變換的特徵值。若不是因為這個用途,我們不會在本書裡討論行列式。 令 是一個 階線性變換表示矩陣。定義 的特徵多項式為 ,特徵值 即是 的根,對應的特徵向量 滿足 。以上是多數教本採用的論述方式。奈林不是唯一對行列式冷感的學者,美國數學教授阿斯勒 (Sheldon Axler) 認為行列式難以理解,不具清晰直覺,且常在缺乏動機的情況下被定義出來。為擺脫行列式,他甚至寫了一本書《線性代數正確完成》(Linear Algebra Done Right) 試圖說服大眾:即便沒有行列式,線性代數照樣伸展自如 (見“拒絕行列式的特徵分析”)。不過,缺少行列式這個工具,阿斯勒並沒有告訴讀者如何計算特徵多項式 (或特徵值)。關於這個問題,他建議大家使用現成的數值計算工具,並說[2]: 不幸的是,對於一典型算子的表示矩陣 (參考任意基底),不存在精確的特徵值計算方法。然而,如果我們幸運地找到一組基底使得參考它的表示矩陣是上三角矩陣,那麼計算特徵值這個問題就很簡單了。 如果我們幸運地找到一組基底使得線性變換參考這組基底的表示矩陣是上三角矩陣,那麼線性變換 (或表示矩陣) 的特徵值即為上三角矩陣的主對角元。或許要找到一組能夠將矩陣三角化的基底需要一點運氣,但現今確實存在可使矩陣分塊三角化的基底計算方法[3-4]。由於此法產生的分塊上三角矩陣具備特殊的型態,從主對角分塊立刻得知特徵多項式,不僅如此,一旦確定了特徵值,僅需少量的計算即可求出特徵向量。下面我就為讀者介紹這個鮮為世人所知的不使用行列式 (也不倚靠運氣或個人修為) 的特徵值和特徵向量算法。

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答Louie──關於同時可對角化的證明

網友Louie留言: 老師你好,在第34堂課的最後,我有個問題:If and are diagonalizable, they have the same eigenvectors if and only if . 由左推到右,老師上課講的很清楚。但是由右推到左,在下才疏學淺,看了講義還是一知半解,想請問老師有沒有其它的算法能救救我?

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